Question

記平面內(nèi)與兩定點A₁（-2，0），A₂（2，0）連線的斜率之積等于常數(shù)m（其中m＜0）的動點B的軌跡，加上A₁，A₂兩點所構成的曲線為C
（I）求曲線C的方程，并討論C的形狀與m的值的關系；
（Ⅱ）當m=時，過點F（1，0）且斜率為k（k#0）的直線l₁交曲線C于M．N兩點，若弦MN的中點為P，過點P作直線l₂交x軸于點Q，且滿足•．試求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設動點M（x，y），由條件可得mx²-y²=4m（x≠±2），對m分m＜-1，m=-1，-1＜m＜0三種情況討論即可；
（Ⅱ）設出直線l₁的方程為y=k（x-1），代入橢圓方程，利用韋達定理，確定|MN|、|PQ|，即可求得結論．
解答：解：（I）設動點B（x，y）．
當x≠±2時，由條件可得•=•==m
即mx²-y²=4m（x≠±2）．
又A₁（-2，0）、A₂（2，0）的坐標滿足mx²-y²=4m．
當m＜-1時，曲線C的方程為+=1，曲線C是焦點在y軸上的橢圓；
當m=-1時，曲線C的方程為x²+y²=4，曲線C是圓心在原點上的圓；
當-1＜m＜0時，曲線C的方程為+=1，曲線C是焦點在x軸上的橢圓；
（Ⅱ）由（I）知，曲線C的方程為+=1．
依題意，直線l₁的方程為y=k（x-1）．
代入橢圓方程可得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則
由韋達定理得：x₁+x₂=-，x₁x₂=
∴弦MN的中點為P（，）
∴|MN|==
直線l₂的方程為
由y=0，可得x=，則Q（，0），
∴|PQ|=
∴=
∵k²+1＞1，∴0＜＜1
∴
∴的取值范圍為（0，）．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，著重考查圓錐曲線的軌跡問題，突出化歸思想、分類討論思想、方程思想的考查，綜合性強．