Question

記平面內(nèi)與兩定點(diǎn)A₁（-2，0），A₂（2，0）連線(xiàn)的斜率之積等于常數(shù)m（其中m＜0）的動(dòng)點(diǎn)B的軌跡，加上A₁，A₂兩點(diǎn)所構(gòu)成的曲線(xiàn)為C
（I）求曲線(xiàn)C的方程，并討論C的形狀與m的值的關(guān)系；
（Ⅱ）當(dāng)m=-

3

4

時(shí)，過(guò)點(diǎn)F（1，0）且斜率為k（k#0）的直線(xiàn)l₁交曲線(xiàn)C于M．N兩點(diǎn)，若弦MN的中點(diǎn)為P，過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)l₂交x軸于點(diǎn)Q，且滿(mǎn)足

MN

•

PQ

=0．試求

| PQ |

| MN |

的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（x，y），由條件可得mx²-y²=4m（x≠±2），對(duì)m分m＜-1，m=-1，-1＜m＜0三種情況討論即可；
（Ⅱ）設(shè)出直線(xiàn)l₁的方程為y=k（x-1），代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，確定|MN|、|PQ|，即可求得結(jié)論．

解答：解：（I）設(shè)動(dòng)點(diǎn)B（x，y）．
當(dāng)x≠±2時(shí)，由條件可得kBA1•kBA2=

Y

X+2

•

Y

X-2

=

Y2

X2-Y2

=m
即mx²-y²=4m（x≠±2）．
又A₁（-2，0）、A₂（2，0）的坐標(biāo)滿(mǎn)足mx²-y²=4m．
當(dāng)m＜-1時(shí)，曲線(xiàn)C的方程為

x2

4

+

y2

-4m

=1，曲線(xiàn)C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓；
當(dāng)m=-1時(shí)，曲線(xiàn)C的方程為x²+y²=4，曲線(xiàn)C是圓心在原點(diǎn)上的圓；
當(dāng)-1＜m＜0時(shí)，曲線(xiàn)C的方程為

x2

4

+

y2

-4m

=1，曲線(xiàn)C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；
（Ⅱ）由（I）知，曲線(xiàn)C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
依題意，直線(xiàn)l₁的方程為y=k（x-1）．
代入橢圓方程可得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則
由韋達(dá)定理得：x₁+x₂=-

8k2

3+4k2

，x₁x₂=

4k2-12

3+4k2

∴弦MN的中點(diǎn)為P（

4k2

3+4k2

，

-3k

3+4k2

）
∴|MN|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

12(k2+1)

3+4k2

直線(xiàn)l₂的方程為y-

-3k

3+4k2

=-

1

k

(x-

4k2

3+4k2

)
由y=0，可得x=

k2

3+4k2

，則Q（

k2

3+4k2

，0），
∴|PQ|=

3 k2(k2+1)

3+4k2

∴

|PQ|

|MN|

=

3 k2(k2+1) 3+4k2

12(k2+1) 3+4k2

=

1

4

1- 1 k2+1

∵k²+1＞1，∴0＜

1

k2+1

＜1
∴0＜

1

4

1- 1 k2+1

＜

1

4

∴

| PQ |

| MN |

的取值范圍為（0，

1

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題，著重考查圓錐曲線(xiàn)的軌跡問(wèn)題，突出化歸思想、分類(lèi)討論思想、方程思想的考查，綜合性強(qiáng)．