Question

10．如果函數y=f（x）的定義域為R，且存在實常數a，使得對于定義域內任意x，都有f（x+a）=f（-x）成立，則稱此函數f（x）具有“P（a）性質”．
（1）判斷函數y=cosx是否具有“P（a）性質”，若具有“P（a）性質”，求出所有a的值的集合；若不具有“P（a）性質”，請說明理由；
（2）已知函數y=f（x）具有“P（0）性質”，且當x≤0時，f（x）=（x+m）²，求函數y=f（x）在區(qū)間[0，1]上的值域；
（3）已知函數y=g（x）既具有“P（0）性質”，又具有“P（2）性質”，且當-1≤x≤1時，g（x）=|x|，若函數y=g（x）的圖象與直線y=px有2017個公共點，求實數p的值．

Answer 1

分析 （1）根據題意可知cos（x+a）=cos（-x）=cosx，故而a=2kπ，k∈Z；
（2）由新定義可推出f（x）為偶函數，從而求出f（x）在[0，1]上的解析式，討論m與[0，1]的關系判斷f（x）的單調性得出f（x）的最值；
（3）根據新定義可知g（x）為周期為2的偶函數，作出g（x）的函數圖象，根據函數圖象得出p的值．

解答 解：（1）假設y=cosx具有“P（a）性質”，則cos（x+a）=cos（-x）=cosx恒成立，
∵cos（x+2kπ）=cosx，
∴函數y=cosx具有“P（a）性質”，且所有a的值的集合為{a|a=2kπ，k∈Z}．   
（2）因為函數y=f（x）具有“P（0）性質”，所以f（x）=f（-x）恒成立，
∴y=f（x）是偶函數．   
設0≤x≤1，則-x≤0，∴f（x）=f（-x）=（-x+m）²=（x-m）²． 
①當m≤0時，函數y=f（x）在[0，1]上遞增，值域為[m²，（1-m）²]． 
②當$0＜m＜\frac{1}{2}$時，函數y=f（x）在[0，m]上遞減，在[m，1]上遞增，
y_min=f（m）=0，${y_{max}}=f（1）={（1-m）^2}$，值域為[0，（1-m）²]．    
③當$\frac{1}{2}≤m≤1$時，y_min=f（m）=0，${y_{max}}=f（0）={m^2}$，值域為[0，m²]．
④m＞1時，函數y=f（x）在[0，1]上遞減，值域為[（1-m）²，m²]．  
（3）∵y=g（x）既具有“P（0）性質”，即g（x）=g（-x），∴函數y=g（x）偶函數，
又y=g（x）既具有“P（2）性質”，即g（x+2）=g（-x）=g（x），
∴函數y=g（x）是以2為周期的函數．   
作出函數y=g（x）的圖象如圖所示：

由圖象可知，當p=0時，函數y=g（x）與直線y=px交于點（2k，0）（k∈Z），即有無數個交點，不合題意．  
當p＞0時，在區(qū)間[0，2016]上，函數y=g（x）有1008個周期，要使函數y=g（x）的圖象與直線y=px有2017個交點，
則直線在每個周期內都有2個交點，且第2017個交點恰好為（2017，1），所以$p=\frac{1}{2017}$．
同理，當p＜0時，$p=-\frac{1}{2017}$．
綜上，$p=±\frac{1}{2017}$．

點評 本題考查了對新定義的理解，函數單調性與周期性的應用，二次函數的性質，函數圖象的意義，屬于中檔題．