Question

8．如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E，F(xiàn)分別為BB₁，AC的中點．
（1）求證：BF∥平面A₁EC；
（2）求證：平面A₁EC⊥平面ACC₁A₁．
（3）若各棱長相等，求二面角E-AC-B正切值．

Answer 1

分析 （1）連接A₁C與AC₁交于點O，連接OF，由已知推導(dǎo)出四邊形BEOF是平行四邊形，由此能證明BF∥平面A₁EC．
（2）由已知條件推導(dǎo)出BF⊥AC，OE⊥AC，AA₁⊥BF，OE⊥AA₁，從而OE⊥平面A₁EC，由此能證明平面A₁EC⊥平面AA₁C₁C．
（3）連結(jié)AE，BF，由已知得到∠BFE是二面角的平面角，由此能求出二面角E-AC-B正切值．

解答 （1）證明：連接A₁C與AC₁交于點O，連接OF，
∵F為AC的中點，∴OF∥C₁C，且OF=$\frac{1}{2}$C₁C，
∵E為BB₁的中點，∴BE∥C₁C，且BE=$\frac{1}{2}$C₁C，
∴BE∥OF且BE=OF，∴四邊形BEOF是平行四邊形，
∴BF∥OE，∵BF在平面A₁EC外，OE?平面A₁EC，
∴BF∥平面A₁EC．
（2）證明：∵AB=CB，F(xiàn)為AC的中點，∴BF⊥AC，
由（1）知BF∥OE，∴OE⊥AC，
∵AA₁⊥底面ABC，BF?底面ABC，∴AA₁⊥BF，
∵BF∥OE，∴OE⊥AA₁，
∵AA₁∩AC=A，∴OE⊥平面A₁EC
∵OE?面A₁EC，∴平面A₁EC⊥平面AA₁C₁C．
（3）解：連結(jié)AE，BF，
設(shè)各棱長為2，由已知得BF=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，BE=1，AE=CE，
∴EF⊥AC，BF⊥AC，
∴∠BFE是二面角的平面角，
tan∠BFE=$\frac{BE}{BF}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴二面角E-AC-B正切值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查直線與平面平行的證明，考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的正切值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．