Question

過(guò)點(diǎn)A（-4，0）向橢圓引兩條切線，切點(diǎn)分別為B，C，且△ABC為正三角形．
（Ⅰ）求ab最大時(shí)橢圓的方程；
（Ⅱ）對(duì)（Ⅰ）中的橢圓，若其左焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l與y軸交于點(diǎn)M，與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為Q，且，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意，其中一條切線的方程為：，聯(lián)立方程組，消去y得3b²x²+a²（（x+4）²=3a²b²，由△=0，可得a²+3b²=16，，當(dāng)a²=3b²時(shí)，ab取最大值，求得，由此能求出橢圓的方程．
（Ⅱ）由，設(shè)直線方程為：，設(shè)Q（x，y），則，當(dāng)時(shí)，有定比分點(diǎn)公式可得：．由此能求出直線方程．
解答：解：（Ⅰ）由題意，其中一條切線的方程為：（2分）
聯(lián)立方程組消去y得3b²x²+a²（（x+4）²=3a²b²
即（a²+3b²）x²+8a²x+16a²-3a²b²=0有△=0，可得a²+3b²=16
因?yàn)閍²+3b²=16，所以，即（4分）
所以當(dāng)a²=3b²時(shí)，ab取最大值；求得
故橢圓的方程為（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，設(shè)直線方程為：
設(shè)Q（x，y），則當(dāng)時(shí)，有定比分點(diǎn)公式可得：（8分）
代入橢圓解得直線方程為（10分）
同理當(dāng)時(shí)，無(wú)解
故直線方程為（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查求ab最大時(shí)橢圓的方程和求直線方程，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意培養(yǎng)計(jì)算能力．