Question

已知拋物線(xiàn)y²=mx（m＞0，m為常數(shù)）的焦點(diǎn)是F（1，0），P（x，y）是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)A（2，0）．
（1）若x＞2，設(shè)線(xiàn)段AP的垂直平分線(xiàn)與x軸交于Q（x₁，O），求x₁的取值范圍；
（2）是否存在垂直于x軸的定直線(xiàn)l，使以AP為直徑的圓截l得到的弦長(zhǎng)為定值？若存在，求其方程，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)拋物線(xiàn)y²=mx（m＞0，m為常數(shù)）的焦點(diǎn)是F（1，0），確定拋物線(xiàn)方程，進(jìn)而求出線(xiàn)段AP的垂直平分線(xiàn)方程，令y=0，可得，利用基本不等式可確定x₁的取值范圍；
（2）假設(shè)存在所求直線(xiàn)l為x=n，先確定AP的中點(diǎn)M（圓心）到l的距離，半徑為，進(jìn)而可得弦長(zhǎng)，由此可得結(jié)論．
解答：解：（1）∵拋物線(xiàn)y²=mx（m＞0，m為常數(shù)）的焦點(diǎn)是F（1，0），
∴m=4，∴拋物線(xiàn)方程是y²=4x
∵P（x，y）是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)A（2，0）．
∴，
∴線(xiàn)段AP的垂直平分線(xiàn)方程為
令y=0，可得
∵x＞2，∴x-2＞0，
∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）
∴x₁的取值范圍是[，+∞）；
（2）假設(shè)存在所求直線(xiàn)l為x=n，AP的中點(diǎn)M（圓心）到l的距離
半徑為
弦長(zhǎng)為
若弦長(zhǎng)為定值，則n-1=0
∴n=1
此時(shí)d＜r，圓M恒與直線(xiàn)x=1相交，且截得弦長(zhǎng)恒為2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查基本不等式的運(yùn)用，考查存在性問(wèn)題的探究，解題的關(guān)鍵是利用垂徑定理表達(dá)出弦長(zhǎng)．