Question

已知函數(shù)f（x）=

1+ln(x+1)

x

．（x＞0）
（1）函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)還是減函數(shù)？證明你的結(jié)論；
（2）若當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞

k

x+1

恒成立，求正整數(shù)k的最大值．

Answer 1

分析：（1）直接求函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，化簡(jiǎn)導(dǎo)函數(shù)分子，判斷正負(fù)即可；
（2）可以先利用特殊值x=1先嘗試k的可能值，然后用導(dǎo)數(shù)的方法予以證明；
    或者構(gòu)造新函數(shù)將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)去研究函數(shù)的最值即可．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=

1+ln(x+1)

x

∴f′（x）=

1

x2

[

x

x+1

-1-ln（x+1）]=-

1

x2

[

x

x+1

+ln（x+1）]．
由x＞0，x²＞0，

x

x+1

＞0，ln（x+1）＞0，得f′（x）＜0．
因此函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)．
（2）解法一：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞

k

x+1

恒成立，令x=1有k＜2[1+ln2]．
又k為正整數(shù)．則k的最大值不大于3．
下面證明當(dāng)k=3時(shí)，f（x）＞

k

x+1

（x＞0）恒成立．
即證明x＞0時(shí)（x+1）ln（x+1）+1-2x＞0恒成立．
令g（x）=（x+1）ln（x+1）+1-2x，
則g′（x）=ln（x+1）-1．
當(dāng)x＞e-1時(shí)，g′（x）＞0；當(dāng)0＜x＜e-1時(shí)，g′（x）＜0．
∴當(dāng)x=e-1時(shí)，g（x）取得最小值g（e-1）=3-e＞0．
∴當(dāng)x＞0時(shí)，（x+1）ln（x+1）+1-2x＞0恒成立．
因此正整數(shù)k的最大值為3．
解法二：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞

k

x+1

恒成立．
即h（x）=

(x+1)[1+ln(x+1)]

x

＞k對(duì)x＞0恒成立．
即h（x）（x＞0）的最小值大于k．
由h′（x）=

x-1-ln(x+1)

x2

，記Φ（x）=x-1-ln（x+1）．（x＞0）
則Φ′（x）=

x

x+1

＞0，
∴Φ（x）在（0，+∞）上連續(xù)遞增．
又Φ（2）=1-ln3＜0，Φ（3）=2-2ln2＞0，
∴Φ（x）=0存在惟一實(shí)根a，且滿足：a∈（2，3），a=1+ln（a+1），
由x＞a時(shí)，Φ（x）＞0，h′（x）＞0；0＜x＜a時(shí)，Φ（x）＜0，h′（x）＜0知：
h（x）（x＞0）的最小值為h（a）=

(a+1)[1+ln(a+1)]

a

=a+1∈（3，4）．
因此正整數(shù)k的最大值為3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值中的應(yīng)用，以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)轉(zhuǎn)化思想是解決此類恒成立問題的“良方”．