【題目】如圖,四棱錐S﹣ABCD的底面是正方形,每條側(cè)棱的長都是底面邊長的 倍,P為側(cè)棱SD上的點(diǎn).
(1)求證:AC⊥SD;
(2)若SD⊥平面PAC,求二面角P﹣AC﹣D的大。

【答案】
(1)解:連BD,設(shè)AC交BD于O,由題意SO⊥AC.

在正方形ABCD中,AC⊥BD,

所以AC⊥平面SBD,得AC⊥SD


(2)解:設(shè)正方形邊長a,則SD= a.

又OD= a,所以∠SDO=60°,

連OP,由(Ⅰ)知AC⊥平面SBD,

所以AC⊥OP,且AC⊥OD,

所以∠POD是二面角P﹣AC﹣D的平面角.

由SD⊥平面PAC,知SD⊥OP,

所以∠POD=30°,

即二面角P﹣AC﹣D的大小為30°


【解析】(1)連BD,設(shè)AC交BD于O,則SO⊥AC,在正方形ABCD中,AC⊥BD,根據(jù)線面垂直的判定定理可知AC⊥平面SBD,SD平面SBD,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知AC⊥SD.(2)設(shè)正方形邊長a,求出SD、OD,得到∠SDO,連OP,根據(jù)(Ⅰ)知AC⊥平面SBD,則AC⊥OP,且AC⊥OD,根據(jù)二面角平面角的定義可知∠POD是二面角P﹣AC﹣D的平面角,然后在三角形POD求出此角即可.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解空間中直線與直線之間的位置關(guān)系的相關(guān)知識(shí),掌握相交直線:同一平面內(nèi),有且只有一個(gè)公共點(diǎn);平行直線:同一平面內(nèi),沒有公共點(diǎn);異面直線: 不同在任何一個(gè)平面內(nèi),沒有公共點(diǎn).

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某公司計(jì)劃在今年內(nèi)同時(shí)出售變頻空調(diào)機(jī)和智能洗衣機(jī),由于這兩種產(chǎn)品的市場需求量非常大,有多少就能銷售多少,因此該公司要根據(jù)實(shí)際情況(如資金、勞動(dòng)力)確定產(chǎn)品的月供應(yīng)量,以使得總利潤達(dá)到最大.已知對(duì)這兩種產(chǎn)品有直接限制的因素是資金和勞動(dòng)力,通過調(diào)查,得到關(guān)于這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如表:
試問:怎樣確定兩種貨物的月供應(yīng)量,才能使總利潤達(dá)到最大,最大利潤是多少?

資金

單位產(chǎn)品所需資金(百元)

空調(diào)機(jī)

洗衣機(jī)

月資金供應(yīng)量(百元)

成本

30

20

300

勞動(dòng)力(工資)

5

10

110

單位利潤

6

8

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知向量 =( ,cos ), =(cos ,1),且f(x)=
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[﹣π,π]上的最大值和最小值及取得最值時(shí)x的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】從甲地到乙地要經(jīng)過3個(gè)十字路口,設(shè)各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立,且在各路口遇到紅燈的概率分別為.

(Ⅰ)設(shè)表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù),求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望;

(Ⅱ)若有2輛車獨(dú)立地從甲地到乙地,求這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】[選修4―4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]

在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l1的參數(shù)方程為t為參數(shù)),直線l2的參數(shù)方程為.設(shè)l1l2的交點(diǎn)為P,當(dāng)k變化時(shí),P的軌跡為曲線C.

(1)寫出C的普通方程;

(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè)l3ρ(cosθ+sinθ) =0,Ml3C的交點(diǎn),求M的極徑.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=48x﹣x3 , x∈[﹣3,5]
(1)求單調(diào)區(qū)間;
(2)求最值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,四邊形為菱形, , 相交于點(diǎn), 平面, 平面 , 中點(diǎn).

(Ⅰ)求證: 平面;

(Ⅱ)求二面角的正弦值;

(Ⅲ)當(dāng)直線與平面所成角為時(shí),求異面直線所成角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

(1)求a;

(2)證明:存在唯一的極大值點(diǎn),且.

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【題目】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),向量 =(sinα,1), =(cosα,0), =(﹣sinα,2),點(diǎn)P是直線AB上的一點(diǎn),且 =
(1)若O,P,C三點(diǎn)共線,求tanα的值;
(2)在(Ⅰ)條件下,求 +sin2α的值.

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