已知函數(shù)f(x)=
a
x
+lnx-n(a＞0)，其中n=
∫
π
2
0
(2sin
t
2
cos
t
2
)dt．若函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)有零點，則a的取值范圍是
（0，1]
（0，1]
．
分析：先利用微積分基本定理求出n，得到函數(shù)的解析式，再求導函數(shù)，從而可確定函數(shù)的最小值，要使函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)有零點，則需最小值小于等于0即可．
解答：解：n=
∫
π
2
0
(2sin
t
2
cos
t
2
)dt．
∴n=∫0 
π
2
sintdt=-cost|0 
π
2
=1，
從而f(x)=
a
x
+lnx-1(a＞0)，
函數(shù)的定義域為（0，+∞）
∴f′(x)=-
a
x2
+
1
x
=
x-a
x2

令f′（x）=0，∴x=a
當x∈（0，a）時，f′（x）＜0，當x∈（a，+∞）時，f′（x）＞0，
∴x=a時，函數(shù)f（x）取得最小值lna
∵函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)有零點
∴l(xiāng)na≤0
∴0＜a≤1
∴函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)有零點時，a的取值范圍是（0，1]
故答案為：（0，1]．
點評：本題以函數(shù)為載體，考查微積分基本定理，導數(shù)的運用，考查函數(shù)的零點，解題的關(guān)鍵是將函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)有零點，轉(zhuǎn)化為最小值小于等于0．本題屬于基礎(chǔ)題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1
．
（1）求證：不論a為何實數(shù)f（x）總是為增函數(shù)；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)；
（3）當f（x）為奇函數(shù)時，求f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)
a-x  ，x≤0
1  ，0＜x≤3
(x-5)2-a，x＞3
（a＞0且a≠1）圖象經(jīng)過點Q（8，6）．
（1）求a的值，并在直線坐標系中畫出函數(shù)f（x）的大致圖象；
（2）求函數(shù)f（t）-9的零點；
（3）設(shè)q（t）=f（t+1）-f（t）（t∈R），求函數(shù)q（t）的單調(diào)遞增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
，若f（x）為奇函數(shù)，則a=（　　）
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
，其中a＞0．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若直線x-y-1=0是曲線y=f（x）的切線，求實數(shù)a的值；
（III）設(shè)g（x）=xlnx-x2f（x），求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
，（a∈R）
（1）求f（x）的定義域；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（3）考察f（x）在定義域上單調(diào)性的情況，并證明你的結(jié)論．

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