Question

15．某市在對(duì)高三年級(jí)學(xué)生的一次水平測(cè)試的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)中顯示，全市10000名學(xué)生的成績(jī)服從正態(tài)分布X～N（110，114），現(xiàn)從甲乙兩校100分以上（含100）試卷中分別隨機(jī)抽取了20份試卷進(jìn)行分析，得到成績(jī)?nèi)缦拢?br />甲校：109 118 112 114 123 128 127 124 126 120    
     130 138 135 137 133 139 142 144 148 150
乙校：108 104 102 119 111 115 129 127 128 122    
      126 132 135 139 137 134 143 143 147 142
（1）根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩校學(xué)生成績(jī)的莖葉圖；并通過(guò)莖葉圖比較兩校學(xué)生成績(jī)的平均分及分散程度（不要求計(jì)算出具體值，給出結(jié)論即可）
（2）在這40名學(xué)生中，從成績(jī)?cè)?40分（含140分）以上的學(xué)生中任意抽取3人，該3人在全市前15名的人數(shù)記為X，求X的分布列和期望
附：若X～N（u，σ²），則P（u-σ＜X＜u+σ）=67.3%，P（u-2σ＜X＜u+2σ）=95.4%，P（u-3σ＜X＜u+3σ）=99.7%

Answer 1

分析 （1）由已知條件能作出兩校學(xué)生成績(jī)的莖葉圖，通過(guò)莖葉圖，知甲校的學(xué)生成績(jī)平均分高于乙校的學(xué)生成績(jī)的平均分，甲校學(xué)生成績(jī)比較集中，乙校學(xué)生成績(jī)比較分散．
（2）由已知推導(dǎo)出X的取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（1）兩校學(xué)生成績(jī)的莖葉圖如下：

通過(guò)莖葉圖，知甲校的學(xué)生成績(jī)平均分高于乙校的學(xué)生成績(jī)的平均分，
甲校學(xué)生成績(jī)比較集中，乙校學(xué)生成績(jī)比較分散．
（2）由于$\frac{15}{10000}$=0.0015，
根據(jù)正態(tài)分布，P（74＜X＜146）=99.7%，
P（X≥146）=$\frac{1-0.997}{2}$=0.0015，
即前15名的成績(jī)?nèi)�部都�?46分以上，（含146）
根據(jù)莖葉圖可知這40人中成績(jī)?cè)?46分以上（含146分）的有3人，
而在140分以上（含140分）有8人，
∴X的取值為0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{C}_{5}^{3}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{5}{28}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{5}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{15}{28}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{15}{56}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{1}{56}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{5}{28}$	$\frac{15}{28}$	$\frac{15}{56}$	$\frac{1}{56}$

EX=$0×\frac{5}{28}+1×\frac{15}{28}+2×\frac{15}{56}+3×\frac{1}{56}$=$\frac{9}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查莖葉圖的作法及應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．