Question

4．一個(gè)袋中有若干個(gè)紅球與白球，一次試驗(yàn)為從中摸出一個(gè)球并放回袋中，摸出紅球概率為p，摸出白球概率為q，摸出紅球加1分，摸出白球減1分，現(xiàn)記“n次試驗(yàn)總得分為S_n”．
（Ⅰ）當(dāng)$p=q=\frac{1}{2}$時(shí)，記ξ=|S₃|，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）當(dāng)$p=\frac{1}{3}，q=\frac{2}{3}$時(shí)，求S₈=2且S_i≥0（i=1，2，3，4）的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)$p=q=\frac{1}{2}$時(shí)，ξ=|S₃|的可能取值為1，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．
（Ⅱ）由題意前8次試驗(yàn)5次摸到紅球，3次摸到白球，并且滿(mǎn)足下列條件：若第一次和第三次摸到紅球，其余六次可任意有3次摸到紅球，另3次摸到白球；若第一次和第二次摸到紅球，第二次摸到白球，則后五次可任意三次摸到紅球，另兩次摸到白球．由此能求出S₈=2且S_i≥0（i=1，2，3，4）的概率．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)$p=q=\frac{1}{2}$時(shí)，ξ=|S₃|的可能取值為1，3，
P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{1}{2}）（\frac{1}{2}）^{2}$+${C}_{3}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}（\frac{1}{2}）$=$\frac{3}{4}$，
P（ξ=3）=${C}_{3}^{0}（\frac{1}{2}）^{3}+{C}_{3}^{3}（\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{1}{4}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	1	3
P	$\frac{3}{4}$	$\frac{1}{4}$

Eξ=$1×\frac{3}{4}+3×\frac{1}{4}$=$\frac{3}{2}$．
（Ⅱ）∵$p=\frac{1}{3}，q=\frac{2}{3}$，S₈=2且S_i≥0（i=1，2，3，4），
∴前8次試驗(yàn)5次摸到紅球，3次摸到白球，
并且滿(mǎn)足下列條件：
若第一次和第三次摸到紅球，其余六次可任意有3次摸到紅球，另3次摸到白球，
若第一次和第二次摸到紅球，第二次摸到白球，則后五次可任意三次摸到紅球，另兩次摸到白球，
∴S₈=2且S_i≥0（i=1，2，3，4）的概率：
p=（${C}_{6}^{3}+{C}_{5}^{3}$）•（$\frac{1}{3}$）⁵•（$\frac{2}{3}$）³=$\frac{80}{2187}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查隨機(jī)變量的分布列和期望，考查限制條件下的概率計(jì)算，處理離散型隨機(jī)變量時(shí)，注意正確判斷隨機(jī)變量的取值，全面剖析各個(gè)隨機(jī)變量所包含的各種事件及相互關(guān)系，準(zhǔn)確計(jì)算變量的每個(gè)取值的概率，有限制條件的概率計(jì)算要認(rèn)清限制條件對(duì)事件的影響．