Question

已知多項式.（Ⅰ）求及的值；（Ⅱ）試探求對一切整數(shù)n，是否一定是整數(shù)？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

（Ⅰ）先用數(shù)學歸納法證明：對一切正整數(shù)n，是整數(shù).
①當n=1時，,結(jié)論成立.
②假設當n=k（k≥1，k∈N）時，結(jié)論成立，即是整數(shù)，則當n=k+1時，

=
根據(jù)假設是整數(shù)，而顯然是整數(shù).
∴是整數(shù)，從而當當n=k+1時，結(jié)論也成立.
由①、②可知對對一切正整數(shù)n，是整數(shù). ……………………………………………7分
（Ⅱ）當n=0時，是整數(shù).……………………………………………………8分
(Ⅲ)當n為負整數(shù)時，令n= -m，則m是正整數(shù)，由（1）是整數(shù)，
所以
=是整數(shù).
綜上，對一切整數(shù)n，一定是整數(shù).………………………………………10分

略