Question

已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若關(guān)于x的方程-2e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）僅有有兩個(gè)不等的實(shí)根，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)大于零，對(duì)a分情況討論，根據(jù)一元二次不等式的解的情況，即可求得結(jié)論；
（2）關(guān)于x的方程-2e恰有兩個(gè)不等的實(shí)根，等價(jià)于恰有兩個(gè)不等的實(shí)根，令G（x）=，利用導(dǎo)數(shù)工具，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，即可求得結(jié)論．
解答：解：（1）函數(shù)F（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），F(xiàn)′（x）=1-+=…（1分）
 設(shè)h（x）=x²+x-a，方程x²+x-a=0的判別式△=1+4a，
①當(dāng)△≤0時(shí)，即a≤-，F(xiàn)'（x）＞0，F(xiàn)（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞），無(wú)單調(diào)減區(qū)間   …（3分）
②當(dāng)△＞0時(shí)，方程x²+x-a=0的兩根為x₁=，x₂=，
（i）當(dāng)，即-＜a≤0時(shí)，F(xiàn)'（x）＞0，
F（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞），無(wú)單調(diào)減區(qū)間   
（ii）當(dāng)，即a＞0時(shí)，當(dāng)x∈（0，）時(shí)，F(xiàn)'（x）＜0，
當(dāng)x∈（，+∞）時(shí)，F(xiàn)'（x）＞0，
可得，當(dāng)a＞0時(shí)，F(xiàn)（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，，單調(diào)減區(qū)間 （，+∞）．

（2）方程-2e=f（x）??lnx=x2-a?…（7分）
令G（x）=，則G（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
G′（x）=＞0，得0＜x＜e，∴G′（x）＜0得x＞e，
所以G（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（ e，+∞）上單調(diào)遞減     …（10分）
G（x）_min=G（ e）=，函數(shù)G（x）的大致圖象如圖所示．
令H（x）=x²-2ex+a，則H（x）在x=e時(shí)取得最小值H（e）=a-e ²，
關(guān)于x的方程-2e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）僅有有兩個(gè)不等的實(shí)根，
必有a-e²＜，∴a＜e²+
所以a的取值范圍是a＜e²+   …（12分）
點(diǎn)評(píng)：掌握導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，會(huì)熟練運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值與最值問(wèn)題．考查了計(jì)算能力和分析解決問(wèn)題的能力，體現(xiàn)了分類討論和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．