Question

14．已知等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若S₁，2S₂，3S₃成等差數(shù)列，且S₄=$\frac{40}{27}$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求證：S_n＜$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)S₁，2S₂，3S₃成等差數(shù)列建立等式，求出q的值，然后根據(jù)等比數(shù)列的求和公式建立等式，可求出的首項，從而求出數(shù)列的通項；
（2）運用等比數(shù)列的求和公式和不等式的性質，即可得證．

解答 解：（1）設等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
∵S₁，2S₂，3S₃成等差數(shù)列
∴4S₂=S₁+3S₃，即4（a₁+a₂）=a₁+3（a₁+a₂+a₃），
∴a₂=3a₃，即q=$\frac{1}{3}$，
又S₄=$\frac{40}{27}$，∴$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{4}）}{1-q}$=$\frac{40}{27}$，
解得a₁=1，
∴a_n=（$\frac{1}{3}$）^n-1；
（2）證明：S_n=$\frac{1-（\frac{1}{3}）^{n}}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{3}{2}$（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）＜$\frac{3}{2}$，
即有S_n＜$\frac{3}{2}$．

點評 本題主要考查了等差數(shù)列的性質，以及等比數(shù)列的求和，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．