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如圖，在四面體P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=2，AC=2
2
．AB=
2
．D為PA的中點，M為CD的中點，N為PB上一點，且PN=3BN．
（Ⅰ）求證：MN⊥PA；
（Ⅱ）求二面角B-CD-A的大�。�
考點：用空間向量求平面間的夾角,與二面角有關的立體幾何綜合題
專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角,空間向量及應用
分析：（Ⅰ）過A在平面ABC內做AX⊥AC，建立坐標系，求出向量的坐標，利用
MN
•
PA
=0，即可得出MN⊥PA；
（Ⅱ）求出平面ADC、平面BCD的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求出二面角B-CD-A的大小．
解答： （Ⅰ）證明：過A在平面ABC內做AX⊥AC，由PA⊥平面ABC，故可建立如圖所示的坐標系，則
A（0，0，0），B（
6
2
，
2
2
，0），C（0，2
2
，0），P（0，0，2），D（0，0，1）
∵M為CD的中點，
∴M（0，
2
，0.5），
∵N為PB上一點，且PN=3BN，
∴N（
3
6
8
，
3
2
8
，0.5），
∴
MN
=(
3
6
8
，-
5
2
8
，0)，
∵
PA
=（0，0，-2），
∴
MN
•
PA
=0，
∴MN⊥PA；
（Ⅱ）解：沿x軸方向取AF=1，則
AF
=（1，0，0），∴
AF
為平面ADC的一個法向量．
設平面BCD的法向量為
n
=（x，y，1），
∵
CD
=（0，-2
2
，1），
BC
=（-
6
2
，
3
2
2
，0）
∴
-
6
2
x+
3
2
2
y=0
-2
2
y+1=0
，
∴取
n
=（
6
4
，
2
4
，1），
∴cos＜
n
，
AF
＞=
n
•
AF
|
n
||
AF
|
=
6
4
6
2
=
1
2
，
∴二面角B-CD-A的大小為
π
3
．
點評：本題考查考查線線垂直，考查面面角，考查向量知識的運用，確定平面的法向量是關鍵．
練習冊系列答案
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3
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π
3
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π
3
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（2）在（1）的條件下，且AA1＜AB，直線B1C與平面BCP的成角的正弦值為
10
10
，求二面角A-BP-C的大�。�

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