Question

如圖1，在矩形ABCD中，AB=2BC，點(diǎn)M在邊CD上，點(diǎn)F在邊AB上，且DF⊥AM，垂足為E，若將△ADM沿AM折起，使點(diǎn)D位于D′位置，連接D′B，D′C得如圖2四棱錐D′-ABCM．
（1）求證：平面D′EF⊥平面AMCB；
（2）若∠D′EF=

π

3

，直線D′F與平面ABCM所成角的大小為

π

3

，求直線AD′與平面ABCM所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面所成的角

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）根據(jù)圖形折疊前后的關(guān)系，易證AM⊥面D′EF，得出平面D′EF⊥平面AMCB．
（2）由（1）知，AM⊥面D′EF，所以平面ABCM⊥面D′EF，過D′作D′H⊥EF，則D′H⊥平面ABCM，∠D′FH是直線D'F與平面ABCM所成角，∠D′AH是直線AD′與平面ABCM所成角在直角三角形D′AH求解即可．

解答： （1）證明：∵將△ADM沿AM折起，使點(diǎn)D位于D′位置，
∴AM⊥D′E，AM⊥EF，D′E∩EF=E，
∴AM⊥面D′EF，
∵AM?平面AMCB，
∴平面D′EF⊥平面AMCB；
（2）解：由（1）知，AM⊥面D′EF，AM?平面ABCM，
∴平面ABCM⊥面D′EF，
過D′作D′H⊥EF，則D′H⊥平面ABCM，
∴∠D′FH也就是∠D′FE是直線D'F與平面ABCM所成角，
由已知，∠D′FE=

π

3

，
并且∠D′AH是所求的直線AD′與平面ABCM所成角．
∵∠D′EF=

π

3

，且∠D′FE=

π

3

在三角形△D′EF中，
∵∠D′EF=

π

3

，且∠D′FE=

π

3

∴是等邊三角形，∴D′E=EF，即DE=EF，
∴△DAF是等腰三角形．
設(shè)AD=2，∴AF=2，EF=

2

，四棱錐D′-ABCM的高D′H=

6

2

由于直線AD′與平面ABCM所成角為∠D′AH，
∴sin∠D′AH=

D′H

AD′

=

6

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的判斷，線面角求解，考查空間想象能力、推理論證、計(jì)算能力．