(Ⅰ)解:設(shè)x>0,則

∵2f(x)+f(

)=

,①
∴2f(

)+f(x)=(x-

)lnx,②
①×2-②得:3f(x)=3xlnx,∴f(x)=xlnx
由f′(x)=lnx+1=0,可得x=

由f′(x)=lnx+1>0,可得x>

;由f′(x)=lnx+1<0,可得0<x<

∴函數(shù)在(0,

)上單調(diào)遞減,在(

,+∞)上單調(diào)遞增
∴x=

時,函數(shù)取得最小值-

;
(Ⅱ)證明:構(gòu)造函數(shù)

,則F′(x)=-

∵x∈(0,+∞),∴F′(x)<0
∴函數(shù)F(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減
∴F(x)<F(0)=0
∴?x∈(0,+∞),

;
(Ⅲ)證明:∵g(x)=

,∴g′(x)=

∴h(x)=(x
2+x)g′(x)=

(1-x-xlnx),
令p(x)=1-x-xlnx,則p′(x)=-lnx-2
由p′(x)>0,可得0<x<

;由p′(x)<0,可得x>

,
∴函數(shù)p(x)在(0,

)上單調(diào)遞增,在(

,+∞)上單調(diào)遞減
∴x=

時,p(x)取得最大值1+

∵1+

<

,

∴h(x)<

•

<

.
分析:(Ⅰ)設(shè)x>0,則

,利用2f(x)+f(

)=

,可得2f(

)+f(x)=(x-

)lnx,由此可得函數(shù)解析式,求導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性,即可求得函數(shù)的最小值;
(Ⅱ)構(gòu)造函數(shù)

,證明函數(shù)F(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,即可證得結(jié)論;
(Ⅲ)h(x)=(x
2+x)g′(x)=

(1-x-xlnx),證明p(x)=1-x-xlnx取得最大值1+

,即可得到結(jié)論.
點(diǎn)評:本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查函數(shù)的最值,考查不等式的證明,解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性.