Question

已知圓C：（x+1）²+（y-2）²=6．直線(xiàn)l：mx-y+1-m=0（m∈R）
（1）求證：無(wú)論m取什么實(shí)鼓，直線(xiàn)l與圓C恒交于兩點(diǎn)；
（2）求直線(xiàn)l被圓C截得的弦長(zhǎng)最小時(shí)l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓相交的性質(zhì)

專(zhuān)題：直線(xiàn)與圓

分析：（1）求出直線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，判斷定點(diǎn)在圓內(nèi)即可；
（2）當(dāng)直線(xiàn)l被圓C截得的弦長(zhǎng)最小時(shí)，定點(diǎn)為圓心在直線(xiàn)上的射影．

解答： 證明：（1）由mx-y+1-m=0得y=mx+1-m=m（x-1）+1，則直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)A（1，1），
∵圓心C（-1，2），半徑r=

6

，
∴|AC|=

(-1-1)2+(2-1)2

=

4+1

=

5

＜

6

，
則A在圓內(nèi)，
即無(wú)論m取什么實(shí)鼓，直線(xiàn)l與圓C恒交于兩點(diǎn)；
（2）若直線(xiàn)l被圓C截得的弦長(zhǎng)最小，
則此時(shí)滿(mǎn)足AC⊥l，
則AC的斜率k=

2-1

-1-1

=-

1

2

，
則l的斜率k=2，
即對(duì)應(yīng)的方程為y-1=2（x-1），
即x-y-1=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系的判斷，以及直線(xiàn)方程的求解，要求熟練直線(xiàn)和圓相交的等價(jià)條件．