Question

已知函數(shù)f（x）=4sinxcos（x+

π

3

）+

3

．
（1）當(dāng)tanα=2時，求f（α）的值；
（2）求f（x）在區(qū)間[-

π

4

，

π

6

]上的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由三角函數(shù)的公式化簡可得f（x）=2sin（2x+

π

3

），由萬能公式可得答案；
（2）由x的范圍可得2x+

π

3

的范圍，進(jìn)而可得sin（2x+

π

3

）的范圍，可得f（x）的范圍，結(jié)合三角函數(shù)在該區(qū)間的單調(diào)性，可得最值及對應(yīng)的x值．

解答： 解：（1）化簡可得f（x）=4sinx（cosxcos

π

3

-sinxsin

π

3

）+

3

=2sinxcosx-2

3

sin²x+

3

=sin2x+

3

cos2x…（2分）
=2sin（2x+

π

3

）…（4分）
∵tanα=2，
∴f（α）=2sin（2α+

π

3

）=sin2α+

3

cos2α=

2tanα

1+tan2α

+

3 (1-tan2α)

1+tan2α

=

4-3 3

5

；…（7分）
（2）因?yàn)閤∈[-

π

4

，

π

6

]，所以-

π

6

≤2x+

π

3

≤

2π

3

…（9分）
所以-

1

2

≤sin（2x+

π

3

）≤1，所以-1≤f（x）≤2，
當(dāng)2x+

π

3

=-

π

6

，即x=-

π

4

時，f（x）_min=-1，
當(dāng)2x+

π

3

=

π

2

，即x=

π

12

時，f（x）_max=2，…（14分）

點(diǎn)評：本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)，涉及三角函數(shù)的周期性和值域，屬中檔題．