Question

3．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＞0）的圖象與x軸有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，
（1）設(shè)a+b=2，當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，|f（x）|≤1，求f（x）；
（2）當(dāng)0＜x＜c時(shí)，恒有f（x）＞0，且有f（c）=0，
①試求b的取值范圍；
②若以二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為5，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）確定c=-1，0≤a+b≤2，0≤a-b≤2，進(jìn)而：0≤a≤$\frac{3}{2}$，0≤b≤$\frac{1}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=$\frac{3}{2}$，b=$\frac{1}{2}$時(shí)才可以a+b=2；（2）求出ac的最大值，然后根據(jù)判別式△大于0就可以求出b的范圍；
（3）由于f（x）的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象表示出三交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積表達(dá)式，從而得到a關(guān)于c的表達(dá)式，最后利用基本不等式求a的取值范圍．

解答 解：（1）|f（x）|≤1即：-1≤f（x）≤1
那么有：-1≤f（-1）≤1，-1≤f（1）≤1，-1≤f（0）≤1，
得到-3≤c≤-1，-1≤c≤1
∴必有c=-1
∴0≤a+b≤2，0≤a-b≤2，
進(jìn)而：0≤a≤$\frac{3}{2}$，0≤b≤$\frac{1}{2}$，
∴當(dāng)且僅當(dāng)a=$\frac{3}{2}$，b=$\frac{1}{2}$時(shí)才可以a+b=2
∴f（x）=$\frac{3}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x；
（2）f（x）的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∵f（c）=0，
設(shè)另一個(gè)根為x₂，則x₂=$\frac{1}{a}$
又當(dāng)0＜x＜c時(shí)，恒有f（x）＞0，則$\frac{1}{a}$＞c，∴0＜ac＜1，
∵△=b²-4ac＞0，∴b²＞4
∴b＜-2或b＞2；
（3）f（x）的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則三交點(diǎn)為（c，0），（$\frac{1}{a}$，0），（0，c）
這三交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為S=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{a}$-c）c=5
∴a=$\frac{1}{c+\frac{10}{c}}$≤$\frac{1}{2\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{20}$，
∴a∈（0，$\frac{\sqrt{10}}{20}$]．

點(diǎn)評 本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、一元二次不等式與一元二次方程、不等式的解法、函數(shù)恒成立問題等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．