Question

對于函數(shù),若存在實數(shù)對(),使得等式對定義域中的每一個都成立,則稱函數(shù)是“()型函數(shù)”.

(1) 判斷函數(shù)是否為 “()型函數(shù)”，并說明理由；

(2) 若函數(shù)是“()型函數(shù)”，求出滿足條件的一組實數(shù)對；

(3)已知函數(shù)是“型函數(shù)”，對應(yīng)的實數(shù)對為，當(dāng)時，，若當(dāng)時,都有,試求的取值范圍.

 

Answer 1

（1）不是“型函數(shù)”，理由詳見解析；（2）（滿足的實數(shù)對均是正確答案）；（3）的取值范圍是.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)條件中的描述，若是“型函數(shù)”，則需存在實數(shù)，使得對于任意都成立，即，對任意都成立，這顯然是不可能的，因此假設(shè)不成立，即不是“型函數(shù)”；（2）根據(jù)條件描述，是“型函數(shù)”需存在實數(shù)對，使得對于任意都成立，即對任意均成立，故所取的實數(shù)對只需滿足等式即可，例如；

（3）根據(jù)是“型函數(shù)”可知：,即，而當(dāng)時,,故當(dāng)時，若有，必有當(dāng)時，，因此要使當(dāng)時,都有即等價于當(dāng)時，恒成立，因此可以得到不等式

在上恒成立，若：顯然不等式在上成立，若：參變分離后可轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為，顯然，當(dāng)時，不等式（1）成立，而要使不等式（2）成立，

只需，通過構(gòu)造函數(shù)令及，可知在上單調(diào)遞增，故，因此只需即可從而得到實數(shù)的取值范圍是.

試題解析：（1）假設(shè)是“()型函數(shù)”，則由題意存在實數(shù)對，使得對于任意都成立，即，對任意都成立，這顯然是不可能的，因此假設(shè)不成立，即不是型函數(shù)；

(2)由題意，若是“()型函數(shù)”，則,即,對任意都成立，故所求實數(shù)對只需滿足即可,如等；

(3) 由題意得:,即，而當(dāng)時,, 故由題意可得，要使當(dāng)時,都有，只需使當(dāng)時，恒成立即可，即

在上恒成立，若：顯然不等式在上成立，若：則可將不等式轉(zhuǎn)化為，因此只需上述不等式組在上恒成立，顯然，當(dāng)時，不等式（1）成立，令，則，∴在上單調(diào)遞增，∴，故要使不等式（2）恒成立，只需即可，綜上所述,所求的取值范圍是.

考點：1.新定義問題；2.恒成立問題的處理方法.