Question

已知ab≠0，求證：a＋b＝1的充要條件是a³＋b³＋ab－a²－b²＝0．

Answer 1

答案：
解析：

證明：先證必要性：因為a＋b＝1(ab≠0)，即b＝1－a， 　　所以a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0． 　　所以必要性成立．再證充分性：因為a3＋b3＋ab－a2－b2＝0， 　　即(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，所以(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0． 　　又因為ab≠0，所以a≠0且b≠0，從而a2－ab＋b2≠0． 　　所以a＋b－1＝0，即a＋b＝1．故充分性成立． 　　解析：本題中ab≠0是大前提．證明充要條件即證明既是充分條件又是必要條件，必須證明必要性與充分性都成立．