Question

已知函數f(x)=a+

2

bsin(x+

π

4

)的圖象過點（0，1），當x∈[0，

π

2

]時，f（x）的最大值為2

2

-1．
（1）求f（x）解析式；
（2）寫出函數的單調遞增區(qū)間；
（3）由f（x）的圖象能否得到一個偶函數的圖象，如果能，寫出對應的函數解析式，不能說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據函數圖象經過點（0，1）和最大值為2

2

-1，建立關于a、b的方程組，從而解出a、b的值，即可得到函數f（x）解析式；
（2）由正弦函數單調區(qū)間的公式解關于x的不等式，即可得到函數f（x）的單調遞增區(qū)間；
（3）將f（x）的圖象向左平移

π

4

個單位得到y(tǒng)=-1+2

2

cosx的圖象，根據余弦函數為偶函數知平移所得圖象對應的函數就是滿足條件的一個函數，從而得到答案．

解答：解：（1）∵函數圖象過點A（

π

2

，1），
∴a+

2

bsin(

π

2

+

π

4

)=a+b=1．…①
又∵當x∈[0，

π

2

]時，f（x）的最大值為2

2

-1．
∴a+

2

b=2

2

-1，…②
聯(lián)解①②，可得a=-1、b=2，
∴函數f（x）解析式為：f(x)=-1+2

2

sin(x+

π

4

)；
（2）令-

π

2

+2kπ≤x+

π

4

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），
解得-

3π

4

+kπ≤x≤

π

4

+kπ（k∈Z），
∴函數f（x）的單調遞增區(qū)間是[-

3π

4

+kπ，

π

4

+kπ]，（k∈Z）；
（3）將f（x）的圖象的圖象向左平移

π

4

個單位，
得y=f（x+

π

4

）=-1+2

2

sin[(x+

π

4

)+

π

4

]=-1+2

2

cosx的圖象，
設g（x）=-1+2

2

cosx，可得g（-x）=-1+2

2

cos（-x）=-1+2

2

cosx=g（x），
∴函數g（x）是偶函數，圖象關于y軸對稱．
因此，f（x）的圖象能得到偶函數的圖象，其一個解析式為y=-1+2

2

cosx．

點評：本題給出三角函數圖象滿足的條件，求其解析式并研究其單調性和奇偶性．著重考查了三角函數的圖象與性質、函數的單調性與奇偶性、函數圖象的平移等知識，屬于中檔題．