Question

已知a，b是不相等的正數(shù)，在a，b之間分別插入m個正數(shù)a₁，a₂， ，a_m和正數(shù)b₁，b₂， ，
b_m，使a，a₁，a₂， ，a_m，b是等差數(shù)列，a，b₁，b₂， ，b_m，b是等比數(shù)列．
（1）若m＝5，＝，求的值；
（2）若b＝λa(λ∈N^*，λ≥2)，如果存在n (n∈N^*，6≤n≤m)使得a_n－5＝b_n，求λ的最小值及此時m的值；
（3）求證：a_n＞b_n(n∈N*，n≤m)．

Answer 1

（1）;（2）最小值為4，此時為29;(3)詳見解析

試題分析：（1）根據(jù)題意m＝5時，共有7項(xiàng)，設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，則，表示出，又由，可得到，解得;（2）由條件得，即，從而得，又由于，即，從而得，又題中有，可得， 化簡消去a得：，觀察此式結(jié)構(gòu)特征：，則要求為有理數(shù)．即必須為有理數(shù)，而，可將用數(shù)字代入檢驗(yàn)： 若，則為無理數(shù)，不滿足條件; 同理，不滿足條件; 當(dāng)時，．要使為有理數(shù)，則必須為整數(shù)，要滿足 ，可解得;(3)可假設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)的和，我們易先證：若為遞增數(shù)列，則為遞增數(shù)列;同理可證，若為遞減數(shù)列，則為遞減數(shù)列;由于a和b的大小關(guān)系不確定，故要對其分類討論：①當(dāng)時，．當(dāng)時，．即，即．因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/201408240450103581080.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，即，即;②當(dāng)時，同理可求得．
試題解析：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，
則．
．                                2分
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824045009610619.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，解得．                4分
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824045009672810.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，從而得．
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824045009734685.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，從而得．
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824045009797530.png" style="vertical-align:middle;" />，所以．
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824045010624388.png" style="vertical-align:middle;" />，所以（*）．                       6分
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824045009844722.png" style="vertical-align:middle;" />，所以為有理數(shù)．
要使（*）成立，則必須為有理數(shù)．
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824045010702460.png" style="vertical-align:middle;" />，所以．
若，則為無理數(shù)，不滿足條件．
同理，不滿足條件．                                        8分
當(dāng)時，．要使為有理數(shù)，則必須為整數(shù)．
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824045010702460.png" style="vertical-align:middle;" />，所以僅有滿足條件．
所以，從而解得．
綜上，最小值為4，此時為29．                             10分
(3)設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)的和．
先證：若為遞增數(shù)列，則為遞增數(shù)列．
證明：當(dāng)時，．    
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/201408240450111541108.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，即數(shù)列為遞增數(shù)列．     
同理可證，若為遞減數(shù)列，則為遞減數(shù)列．                 12分
①當(dāng)時，．當(dāng)時，．
即，即．   
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/201408240450103581080.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以，即，即．      
②當(dāng)時，，當(dāng)時，．
即．
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824045011435458.png" style="vertical-align:middle;" />，所以．以下同①．
綜上，．                                   16分