【題目】設(shè)a<1,集合A={x∈R|x>0},B={x∈R|2x2﹣3(1+a)x+6a>0},D=A∩B.
(1)求集合D(用區(qū)間表示);
(2)求函數(shù)f(x)=2x3﹣3(1+a)x2+6ax在D內(nèi)的極值點.
【答案】
(1)解:記h(x)=2x2﹣3(1+a)x+6a(a<1)
△=9(1+a)2﹣48a=(3a﹣1)(3a﹣9),
當(dāng)△<0,即 ,D=(0,+∞),
當(dāng) ,
當(dāng)a≤0,
(2)解:由f′(x)=6x2﹣6(1+a)x+6a=0得x=1,a,
①當(dāng) ,f(x)在D內(nèi)有一個極大值點a,有一個極小值點;
②當(dāng) ,∵h(yuǎn)(1)=2﹣3(1+a)+6a=3a﹣1≤0,
h(a)=2a2﹣3(1+a)a+6a=3a﹣a2>0,
∴1D,a∈D,
∴f(x)在D內(nèi)有一個極大值點a.
③當(dāng)a≤0,則aD,
又∵h(yuǎn)(1)=2﹣3(1+a)+6a=3a﹣1<0.
∴f(x)在D內(nèi)有無極值點
【解析】(1)根據(jù)方程2x2﹣3(1+a)x+6a=0的判別式討論a的范圍,求出相應(yīng)D即可;(2)由f′(x)=6x2﹣6(1+a)x+6a=0得x=1,a,然后根據(jù)(1)中討論的a的取值范圍分別求出函數(shù)極值即可.
【考點精析】掌握集合的交集運算和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)是解答本題的根本,需要知道交集的性質(zhì):(1)A∩BA,A∩BB,A∩A=A,A∩=,A∩B=B∩A;(2)若A∩B=A,則AB,反之也成立;求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值.
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【題目】如圖,在三棱錐中,側(cè)棱垂直于底面, 分別是的中點.
(1)求證: 平面平面;
(2)求證: 平面;
(3)求三棱錐體積.
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【題目】已知橢圓C: 的離心率為 ,F(xiàn)是橢圓C的右焦點.過點F且斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓C交于A,B兩點,O是坐標(biāo)原點.
(1)求n的值;
(2)若線段AB的垂直平分線在y軸的截距為 ,求k的值;
(3)是否存在點P(t,0),使得PF為∠APB的平分線?若存在,求出t的值;若不存在,說明理由.
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【題目】如圖所示,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,點E在線段PC上,PC⊥平面BDE.
(1)證明:BD⊥平面PAC;
(2)若PA=1,AD=2,求二面角B﹣PC﹣A的正切值.
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【題目】受轎車在保修期內(nèi)維修費等因素的影響,企業(yè)產(chǎn)生每輛轎車的利潤與該轎車首次出現(xiàn)故障的時間有關(guān),某轎車制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車,保修期均為2年,現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌轎車中隨機抽取50輛,統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下:
品牌 | 甲 | 乙 | |||
首次出現(xiàn)故障時間x(年) | 0<x<1 | 1<x≤2 | x>2 | 0<x≤2 | x>2 |
轎車數(shù)量(輛) | 2 | 3 | 45 | 5 | 45 |
每輛利潤(萬元) | 1 | 2 | 3 | 1.8 | 2.9 |
將頻率視為概率,解答下列問題:
(Ⅰ)從該廠生產(chǎn)的甲品牌轎車中隨機抽取一輛,求首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率;
(Ⅱ)若該廠生產(chǎn)的轎車均能售出,記住生產(chǎn)一輛甲品牌轎車的利潤為X1 , 生產(chǎn)一輛乙品牌轎車的利潤為X2 , 分別求X1 , X2的分布列;
(Ⅲ)該廠預(yù)計今后這兩種品牌轎車銷量相當(dāng),由于資金限制,只能生產(chǎn)其中一種品牌轎車,若從經(jīng)濟(jì)效益的角度考慮,你認(rèn)為應(yīng)該產(chǎn)生哪種品牌的轎車?說明理由.
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【題目】近年來,某市為促進(jìn)生活垃圾的分類處理,將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類,并分別設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱,為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況,先隨機抽取了該市三類垃圾箱總計1000噸生活垃圾,數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下(單位:噸);
“廚余垃圾”箱 | “可回收物”箱 | “其他垃圾”箱 | |
廚余垃圾 | 400 | 100 | 100 |
可回收物 | 30 | 240 | 30 |
其他垃圾 | 20 | 20 | 60 |
(1)試估計廚余垃圾投放正確的概率;
(2)試估計生活垃圾投放錯誤的概率;
(3)假設(shè)廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分別為a,b,c,其中a>0,a+b+c=600.當(dāng)數(shù)據(jù)a,b,c的方差s2最大時,寫出a,b,c的值(結(jié)論不要求證明),并求此時s2的值.
(求:S2= [ + +…+ ],其中 為數(shù)據(jù)x1 , x2 , …,xn的平均數(shù))
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【題目】雙曲線x2﹣ =1(b>0)的左、右焦點分別為F1 , F2 , 直線l過F2且與雙曲線交于A,B兩點.
(1)直線l的傾斜角為 ,△F1AB是等邊三角形,求雙曲線的漸近線方程;
(2)設(shè)b= ,若l的斜率存在,且( + ) =0,求l的斜率.
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