【題目】雙曲線x2 =1(b>0)的左、右焦點分別為F1 , F2 , 直線l過F2且與雙曲線交于A,B兩點.
(1)直線l的傾斜角為 ,△F1AB是等邊三角形,求雙曲線的漸近線方程;
(2)設(shè)b= ,若l的斜率存在,且( + =0,求l的斜率.

【答案】
(1)解:雙曲線x2 =1(b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,a=1,c2=1+b2

直線l過F2且與雙曲線交于A,B兩點,

直線l的傾斜角為 ,△F1AB是等邊三角形,

可得:A(c,b2),可得: ,

3b4=4(a2+b2),

即3b4﹣4b2﹣4=0,

b>0,解得b2=2.

所求雙曲線方程為:x2 =1,

其漸近線方程為y=± x


(2)解:b= ,雙曲線x2 =1,可得F1(﹣2,0),F(xiàn)2(2,0).

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線的斜率為:k= ,

直線l的方程為:y=k(x﹣2),

由題意可得: ,消去y可得:(3﹣k2)x2+4k2x﹣4k2﹣3=0,

△=36(1+k2)>0,

可得x1+x2=

則y1+y2=k(x1+x2﹣4)=k( ﹣4)=

=(x1+2,y1),

=(x2+2,y2),

+ =0可得:(x1+x2+4,y1+y2)(x1﹣x2,y1﹣y2)=0,

可得x1+x2+4+(y1+y2)k=0,

+4+ k=0

可得:k2= ,

解得k=± img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2017/02/11/05/40d23035/SYS201702110503548573774059_DA/SYS201702110503548573774059_DA.016.png" width="22" height="34" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />

l的斜率為:±


【解析】(1)利用直線的傾斜角,求出AB,利用三角形是正三角形,求解b,即可得到雙曲線方程.(2)求出左焦點的坐標,設(shè)出直線方程,推出A、B坐標,利用向量的數(shù)量積為0,即可求值直線的斜率.

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