Question

【題目】新冠病毒是一種通過飛沫和接觸傳播的變異病毒，為篩查該病毒，有一種檢驗(yàn)方式是檢驗(yàn)血液樣本相關(guān)指標(biāo)是否為陽性，對于份血液樣本，有以下兩種檢驗(yàn)方式：一是逐份檢驗(yàn)，則需檢驗(yàn)次．二是混合檢驗(yàn)，將其中份血液樣本分別取樣混合在一起，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，那么這份血液全為陰性，因而檢驗(yàn)一次就夠了；如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽性，為了明確這份血液究竟哪些為陽性，就需要對它們再逐份檢驗(yàn)，此時份血液檢驗(yàn)的次數(shù)總共為次．某定點(diǎn)醫(yī)院現(xiàn)取得4份血液樣本，考慮以下三種檢驗(yàn)方案：方案一，逐個檢驗(yàn)；方案二，平均分成兩組檢驗(yàn)；方案三，四個樣本混在一起檢驗(yàn)．假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本檢驗(yàn)結(jié)果是陽性還是陰性都是相互獨(dú)立的，且每份樣本是陰性的概率為．

（Ⅰ）求把2份血液樣本混合檢驗(yàn)結(jié)果為陽性的概率；

（Ⅱ）若檢驗(yàn)次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)”．方案一、二、三中哪個最“優(yōu)”？請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）選擇方案三最“優(yōu)”，理由見解析

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)獨(dú)立事件和對立事件概率公式可計(jì)算求得結(jié)果；

（Ⅱ）確定方案二和方案三檢驗(yàn)次數(shù)所有可能的取值，并求得每個取值對應(yīng)的概率，進(jìn)而得到分布列，由數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式計(jì)算得到期望，與方案一的期望進(jìn)行比較，得到最優(yōu)方案.

（Ⅰ）該混合樣本陰性的概率為：，

根據(jù)對立事件原理，陽性的概率為：．

（Ⅱ）方案一：逐個檢驗(yàn)，檢驗(yàn)次數(shù)為．

方案二：由（Ⅰ）知，每組個樣本檢驗(yàn)時，若陰性則檢驗(yàn)次數(shù)為，概率為；

若陽性則檢驗(yàn)次數(shù)為，概率為，

設(shè)方案二的檢驗(yàn)次數(shù)記為，則的可能取值為，

；；，

則的分布列如下：

可求得方案二的期望為．

方案三：混在一起檢驗(yàn)，設(shè)方案三的檢驗(yàn)次數(shù)記為，的可能取值為，，

，，

則的分布列如下：

可求得方案三的期望為．

比較可得，故選擇方案三最“優(yōu)”．