【題目】如圖，三棱臺(tái)中，，．

（1）證明：；

（2）若，求二面角的余弦值．

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）過作交于點(diǎn)，連接，易證得，進(jìn)而得到，得到，即，由線面垂直的判定定理得到平面，進(jìn)而得到；

（2）根據(jù)題意，進(jìn)一步得到，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面的一個(gè)法向量和平面的一個(gè)法向量，利用公式求得的值，進(jìn)而得到二面角的余弦值.

（1）過作交于點(diǎn)，連接，

因?yàn)?/span>，所以，

所以，所以，

所以，即，

因?yàn)?/span>，所以平面，

又因?yàn)?/span>平面，所以．

（2）因?yàn)?/span>，

所以，所以，

所以，因?yàn)?/span>，

所以，所以．

如圖，以為原點(diǎn)，以的方向?yàn)?/span>軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

易知，所以，

所以，

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，

則即

取，

易知平面的一個(gè)法向量，

則，

因?yàn)槎娼?/span>為銳角，

所以二面角的余弦值為．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在四棱錐中，底面是正方形，底面，，、、分別是棱、、的中點(diǎn)，對(duì)于平面截四棱錐所得的截面多邊形，有以下三個(gè)結(jié)論：

①截面的面積等于；

②截面是一個(gè)五邊形；

③截面只與四棱錐四條側(cè)棱中的三條相交．

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知曲線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)），的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）.

（1）化、的參數(shù)方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；

（2）若直線的極坐標(biāo)方程為：，曲線上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)，曲線上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)，求的中點(diǎn)到直線的距離.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】新冠病毒是一種通過飛沫和接觸傳播的變異病毒，為篩查該病毒，有一種檢驗(yàn)方式是檢驗(yàn)血液樣本相關(guān)指標(biāo)是否為陽性，對(duì)于份血液樣本，有以下兩種檢驗(yàn)方式：一是逐份檢驗(yàn)，則需檢驗(yàn)次．二是混合檢驗(yàn)，將其中份血液樣本分別取樣混合在一起，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，那么這份血液全為陰性，因而檢驗(yàn)一次就夠了；如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽性，為了明確這份血液究竟哪些為陽性，就需要對(duì)它們?cè)僦鸱輽z驗(yàn)，此時(shí)份血液檢驗(yàn)的次數(shù)總共為次．某定點(diǎn)醫(yī)院現(xiàn)取得4份血液樣本，考慮以下三種檢驗(yàn)方案：方案一，逐個(gè)檢驗(yàn)；方案二，平均分成兩組檢驗(yàn)；方案三，四個(gè)樣本混在一起檢驗(yàn)．假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本檢驗(yàn)結(jié)果是陽性還是陰性都是相互獨(dú)立的，且每份樣本是陰性的概率為．

（Ⅰ）求把2份血液樣本混合檢驗(yàn)結(jié)果為陽性的概率；

（Ⅱ）若檢驗(yàn)次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)”．方案一、二、三中哪個(gè)最“優(yōu)”？請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)o為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程是：

（Ⅰ）求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程：

（Ⅱ）點(diǎn)P是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l距離的最大值與最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐A﹣BCD中，點(diǎn)E在BD上，EA＝EB＝EC＝ED，BDCD，△ACD為正三角形，點(diǎn)M，N分別在AE，CD上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)），且AM＝CN，則當(dāng)四面體C﹣EMN的體積取得最大值時(shí)，三棱錐A﹣BCD的外接球的表面積為_____.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．

（Ⅰ）求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）設(shè)為曲線上的點(diǎn)，，垂足為，若的最小值為，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）若函數(shù)在，上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若函數(shù)在處的切線平行于軸，是否存在整數(shù)，使不等式在時(shí)恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，點(diǎn)O是對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，AB=2，∠BAD=60°，M是PD的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：OM∥平面PAB；

（Ⅱ）平面PBD⊥平面PAC；

（Ⅲ）當(dāng)三棱錐C﹣PBD的體積等于 時(shí)，求PA的長．

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