Question

13．已知函數(shù)f（x）=2cosx•sin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移m個(gè)單位，使所得函數(shù)為偶函數(shù)，求m的最小正值．

Answer 1

分析 先利用和角公式，倍角公式，將函數(shù)f（x）化為正弦型函數(shù)的形式；
（1）令2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{3π}{2}$+2kπ]，k∈Z，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移m個(gè)單位，使所得函數(shù)為偶函數(shù)，則-2m+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，進(jìn)而得到答案．

解答 解：f（x）=2cosx•sin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx
=2cosx•（sinxcos$\frac{π}{3}$+cosxsin$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx
=2sinxcosx+$\sqrt{3}$cos²x-$\sqrt{3}$sin²x
=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x
=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）…3分；
（1）令2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{3π}{2}$+2kπ]，k∈Z得：x∈[$\frac{π}{12}$+kπ，$\frac{7π}{12}$+kπ]，k∈Z，
即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[$\frac{π}{12}$+kπ，$\frac{7π}{12}$+kπ]，k∈Z，…6分；
（2）（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移m個(gè)單位，
可得函數(shù)g（x）=2sin（2x-2m+$\frac{π}{3}$）的圖象…9分
∵函數(shù)為偶函數(shù)，
故-2m+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，
當(dāng)k=-1時(shí)，m取最小正值$\frac{5π}{12}$…12分

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角函數(shù)中的恒等變換，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．