Question

9．已知|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{10}$，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-$\frac{{5\sqrt{30}}}{2}$，且（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=-15，則向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為$\frac{5π}{6}$．

Answer 1

分析 根據(jù)$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）=-15$及$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{10}$即可求出$|\overrightarrow|$的值，再根據(jù)$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=-\frac{5\sqrt{30}}{2}$即可求出$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$的值，從而得出向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的夾角．

解答 解：$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）={\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow}^{2}$=$10-|\overrightarrow{|}^{2}=-15$；
∴$|\overrightarrow|=5$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$=$5\sqrt{10}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=-\frac{5\sqrt{30}}{2}$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=-\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的夾角為$\frac{5π}{6}$．
故答案為：$\frac{5π}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 考查數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，向量夾角的范圍，以及已知三角函數(shù)值求角．