【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：.

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）先求解導(dǎo)數(shù)，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)式特點(diǎn)，進(jìn)行分類討論，可得單調(diào)性；

（2）結(jié)合極值點(diǎn)的特征，把目標(biāo)式中雙變量轉(zhuǎn)化為單變量，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可證.

（1）解：由題得，其中，

考察，，其中對稱軸為，.

若，則，

此時(shí)，則，所以在上單調(diào)遞增；

若，則，

此時(shí)在上有兩個(gè)根，，且，

所以當(dāng)時(shí)，，則，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，則，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，則，單調(diào)遞增，

綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（2）證明：由（1）知，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，，

所以

.

令，，則只需證明，

由于，故在上單調(diào)遞減，所以.

又當(dāng)時(shí)，，，

故，

所以，對任意的，.

綜上，可得.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，且曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）寫出直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)直線上的定點(diǎn)在曲線外且其到上的點(diǎn)的最短距離為，試求點(diǎn)的坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】全民健身倡導(dǎo)全民做到每天參加一次以上的體育健身活動，旨在全面提高國民體質(zhì)和健康水平.某部門在該市2013-2018年發(fā)布的全民健身指數(shù)中，對其中的“運(yùn)動參與評分值”（滿分100分）進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，制成如圖所示的散點(diǎn)圖.

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖，建立關(guān)于的回歸方程；

（2）從該市的市民中隨機(jī)抽取了容量為150的樣本，其中經(jīng)常參加體育鍛煉的人數(shù)為50，以頻率為概率，若從這150名市民中隨機(jī)抽取4人，記其中“經(jīng)常參加體育鍛煉”的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在直三棱柱中，是邊長為2的正三角形，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn).

（1）證明：平面；

（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的離心率，短軸的一個(gè)端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為.

（1）求橢圓的方程；

（2），是橢圓上的兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)在直線上，求直線的斜率的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，2），端點(diǎn)A在圓C：（x+2）2+y2＝16上運(yùn)動．

（1）求線段AB的中點(diǎn)的軌跡方程H．

（2）判斷（1）中軌跡H與圓C的位置關(guān)系．

（3）過點(diǎn)P（3，2）作兩條相互垂直的直線MN，EF，分別交（1）中軌跡H于M，N和E，F，求四邊形MNFE面積的最大值

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】給出下列4個(gè)命題：

①若函數(shù)在上有零點(diǎn)，則一定有；

②函數(shù)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)；

③若函數(shù)的值域?yàn)?/span>，則實(shí)數(shù)的取值范圍是；

④若函數(shù)滿足條件，則的最小值為.

其中正確命題的序號是：_______.（寫出所有正確命題的序號）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，直線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線與直線的直角坐標(biāo)方程.

（2）直線與軸的交點(diǎn)為，與曲線的交點(diǎn)為，，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，、是離心率為的橢圓：的左、右焦點(diǎn)，過作軸的垂線交橢圓所得弦長為，設(shè)、是橢圓上的兩個(gè)動點(diǎn)，線段的中垂線與橢圓交于、兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.

（1）求橢圓的方程；

（2）求的取值范圍.

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