分析 (1)由已知利用余弦定理,即可求AE的長;
(2)設(shè)∠ACE=α,求出CF,CE,利用三角形面積公式可求S△CEF,求出最大值,即可求該空地產(chǎn)生最大經(jīng)濟價值時種植甲種水果的面積.
解答 (本小題滿分16分)
解:(1)由已知得△ABC為直角三角形,因為AB=8,∠ABC=\frac{π}{6},
所以∠BAC=\frac{π}{3},AC=4,
在△ACE中,由余弦定理:CE2=AC2+AE2-2AC•AEcosA,且CE=\sqrt{13},
所以13=16+AE2-4AE,
解得AE=1或AE=3,…(4分)
(2)因為∠ACB=\frac{π}{2},∠ECF=\frac{π}{6},
所以∠ACE=α∈[0,\frac{π}{3}],
所以∠AFC=π-∠A-∠ACF=π-\frac{π}{3}-({α+\frac{π}{6}})=\frac{π}{2}-α,…(6分)
在△ACF中由正弦定理得:\frac{CF}{sinA}=\frac{AC}{sin∠CFA}=\frac{AC}{{sin(\frac{π}{2}-α)}}=\frac{AC}{cosα},
所以CF=\frac{{2\sqrt{3}}}{cosα},…(8分)
在△ACE中,由正弦定理得:\frac{CE}{sinA}=\frac{AC}{sin∠AEC}=\frac{AC}{{sin(\frac{π}{3}+α)}},
所以CE=\frac{{2\sqrt{3}}}{{sin(\frac{π}{3}+α)}},…(10分)
由于:{S_{△ECF}}=\frac{1}{2}CE•CFsin∠ECF=\frac{3}{{sin(\frac{π}{3}+α)cosα}}=\frac{12}{{2sin(2α+\frac{π}{3})+\sqrt{3}}},…(14分)
因為α∈[0,\frac{π}{3}],所以\frac{π}{3}≤2α+\frac{π}{3}≤π,所以0≤sin(2α+\frac{π}{3})≤1,
所以當sin(2α+\frac{π}{3})=0時,S△ECF取最大值為4\sqrt{3}.…(16分)
點評 本題主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的運用,考查三角形面積的計算,考查了正弦函數(shù)的最值,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | [{0,\frac{π}{2}})∪[{\frac{2π}{3},π}) | B. | [{\frac{2π}{3},π}) | C. | [{0,\frac{π}{2}})∪[{\frac{5π}{6},π}) | D. | [{\frac{5π}{6},π}) |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com