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7.如圖,有一直徑為8米的半圓形空地,現(xiàn)計劃種植果樹,但需要有輔助光照.半圓周上的C處恰有一可旋轉(zhuǎn)光源滿足果樹生長的需要,該光源照射范圍是∠ECF=\frac{π}{6},點E,F(xiàn)在直徑AB上,且∠ABC=\frac{π}{6}
(1)若CE=\sqrt{13},求AE的長;
(2)設(shè)∠ACE=α,求該空地種植果樹的最大面積.

分析 (1)由已知利用余弦定理,即可求AE的長;
(2)設(shè)∠ACE=α,求出CF,CE,利用三角形面積公式可求S△CEF,求出最大值,即可求該空地產(chǎn)生最大經(jīng)濟價值時種植甲種水果的面積.

解答 (本小題滿分16分)
解:(1)由已知得△ABC為直角三角形,因為AB=8,∠ABC=\frac{π}{6}
所以∠BAC=\frac{π}{3},AC=4,
在△ACE中,由余弦定理:CE2=AC2+AE2-2AC•AEcosA,且CE=\sqrt{13},
所以13=16+AE2-4AE,
解得AE=1或AE=3,…(4分)
(2)因為∠ACB=\frac{π}{2},∠ECF=\frac{π}{6}
所以∠ACE=α∈[0,\frac{π}{3}],
所以∠AFC=π-∠A-∠ACF=π-\frac{π}{3}-({α+\frac{π}{6}})=\frac{π}{2}-α,…(6分)
在△ACF中由正弦定理得:\frac{CF}{sinA}=\frac{AC}{sin∠CFA}=\frac{AC}{{sin(\frac{π}{2}-α)}}=\frac{AC}{cosα},
所以CF=\frac{{2\sqrt{3}}}{cosα},…(8分)
在△ACE中,由正弦定理得:\frac{CE}{sinA}=\frac{AC}{sin∠AEC}=\frac{AC}{{sin(\frac{π}{3}+α)}}
所以CE=\frac{{2\sqrt{3}}}{{sin(\frac{π}{3}+α)}},…(10分)
由于:{S_{△ECF}}=\frac{1}{2}CE•CFsin∠ECF=\frac{3}{{sin(\frac{π}{3}+α)cosα}}=\frac{12}{{2sin(2α+\frac{π}{3})+\sqrt{3}}},…(14分)
因為α∈[0,\frac{π}{3}],所以\frac{π}{3}≤2α+\frac{π}{3}≤π,所以0≤sin(2α+\frac{π}{3})≤1,
所以當sin(2α+\frac{π}{3})=0時,S△ECF取最大值為4\sqrt{3}.…(16分)

點評 本題主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的運用,考查三角形面積的計算,考查了正弦函數(shù)的最值,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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(1)當以{\overrightarrow{AB}\overrightarrow{AD}}為基底時,設(shè)\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{AD}=\overrightarrow,
\overrightarrow{a},\overrightarrow表示\overrightarrow{OD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow-\overrightarrow{a});
\overrightarrow{a},\overrightarrow表示\overrightarrow{AE}=\frac{3}{4}\overrightarrow{a}+\frac{1}{4}\overrightarrow;
(2)設(shè)點MN分別為邊DC,BC中點.
①當以{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}}為基底時,設(shè)\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{c},\overrightarrow{AD}=\overrightarrowleh1fea
\overrightarrow{c},\overrightarrowuuv0v6u表示\overrightarrow{AN},則\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{c}+\frac{1}{2}\overrightarrowbt5zk0v
②當以{\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AN}}為基底時,設(shè)\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{m},\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{n},用\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}表示:
\overrightarrow{AB}=\frac{4}{3}\overrightarrow{n}-\frac{2}{3}\overrightarrow{m},\overrightarrow{AC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{n}+\frac{2}{3}\overrightarrow{m},\overline{OE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{n}+\frac{1}{2}\overrightarrow{m}

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