Question

如圖所示，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分別是棱AB、CC₁的中點，△MB₁P的頂點P在棱CC₁與棱C₁D₁上運動，有以下四個命題：
①平面MB₁P⊥ND₁；②平面MB₁P⊥平面ND₁A₁；③△MB₁P在底面ABCD上的射影圖形的面積為定值；④△MB₁P在側面D₁C₁CD上的射影圖形是三角形．
其中正確命題的序號是    ．

Answer 1

【答案】分析：由正方體的幾何性質(zhì)對四個命題時行判斷，戡別正誤，
①平面MB₁P⊥ND₁；可用極限位置判斷，
②平面MB₁P⊥平面ND₁A₁；可以證明MB₁⊥平面ND₁A₁
③△MB₁P在底面ABCD上的射影圖形的面積為定值，可以看到其投影三角形底邊是MB，再由點P在底面上的投影到MB的距離不變即可證得
④△MB₁P在側面D₁C₁CD上的射影圖形是三角形，由圖形判斷即可．
解答：解：①平面MB₁P⊥ND₁；可用極限位置判斷，當P與N重合時，MB₁P⊥ND₁垂直不成立，故線面不可能垂直，此命題是錯誤命題；
②平面MB₁P⊥平面ND₁A₁；可以證明MB₁⊥平面ND₁A₁，由圖形知MB₁與ND₁和D₁A₁都垂直，故可證得MB₁⊥平面ND₁A₁，進而可得平面MB₁P⊥平面ND₁A₁，故是正確命題；
③△MB₁P在底面ABCD上的射影圖形的面積為定值，可以看到其投影三角形底邊是MB，再由點P在底面上的投影在DC上，故其到MB的距離不變即可證得；
④△MB₁P在側面D₁C₁CD上的射影圖形是三角形，由于P與C₁重合時，P、B₁兩點的投影重合，不能構成三角形，故命題錯誤．
綜上②③正確
故答案為：②③．
點評：本題考查面面之間的位置關系以及投影的概念，求解本題的關鍵是對正方體中的點線面關系有比較透徹的了解．對其中的空間位置比較熟悉，則判斷較易．