Question

10．已知以A（-1，2）點(diǎn)為圓心的圓與直線${l_1}：\frac{1}{2}x+y+\frac{7}{2}=0$相切．過點(diǎn)B（-2，0）的動(dòng)直線l與圓A相交于M，N兩點(diǎn)，Q是MN的中點(diǎn)，直線l與l₁相交于點(diǎn)P．
（1）求圓A的方程；
（2）當(dāng)$|{MN}|=2\sqrt{19}$時(shí)，求直線l的方程；
（3）求證：$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{BQ}=-5$．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出圓A的半徑，根據(jù)以點(diǎn)A（-1，2）為圓心的圓與直線l₁：x+2y+7=0相切．點(diǎn)到直線的距離等于半徑，我們可以求出圓的半徑，進(jìn)而得到圓的方程；
（2）根據(jù)半弦長(zhǎng)，弦心距，圓半徑構(gòu)成直角三角形，滿足勾股定理，我們可以結(jié)合直線l過點(diǎn)B（-2，0），求出直線的斜率，進(jìn)而得到直線l的方程；
（3）由直線l過點(diǎn)B（-2，0），我們可分直線的斜率存在和不存在兩種情況，運(yùn)用向量的坐標(biāo)和數(shù)量積的坐標(biāo)表示，綜合討論結(jié)果，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)圓A的半徑為R，由于圓A與直線l₁：x+2y+7=0相切，
∴R=$\frac{|-1+4+7|}{\sqrt{5}}$=2$\sqrt{5}$，
∴圓A的方程為（x+1）²+（y-2）²=20；
（2）①當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，易知x=-2符合題意；
②當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，
設(shè)直線l的方程為y=k（x+2），即kx-y+2k=0，
連接AQ，則AQ⊥MN
∵$|{MN}|=2\sqrt{19}$，∴|AQ|=$\sqrt{20-19}$=1，
則由|AQ|=$\frac{|k-2|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，得k=$\frac{3}{4}$，∴直線l：3x-4y+6=0．
故直線l的方程為x=-2或3x-4y+6=0；
（3）證明：∵AQ⊥BP，∴$\overrightarrow{BQ}$•$\overrightarrow{BP}$=（$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{AQ}$）•$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BP}$+$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BP}$，
①當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，易得P（-2，-$\frac{5}{2}$），則$\overrightarrow{BP}$=（0，-$\frac{5}{2}$），又$\overrightarrow{BA}$=（1，2），
∴$\overrightarrow{BQ}$•$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BP}$=0×1-$\frac{5}{2}$×2=-5；
②當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x+2），
則由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{x+2y+7=0}\end{array}\right.$，得P（$\frac{-4k-7}{1+2k}$，$\frac{-5k}{1+2k}$），
則$\overrightarrow{BP}$=（$\frac{-5}{1+2k}$，$\frac{-5k}{1+2k}$），
∴$\overrightarrow{BQ}$•$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BP}$=$\frac{-5}{1+2k}$+$\frac{-10k}{1+2k}$=-5．
綜上所述，$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{BQ}=-5$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線和圓的方程的應(yīng)用，直線的一般式方程，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其中（1）的關(guān)鍵是求出圓的半徑，（2）的關(guān)鍵是根據(jù)半弦長(zhǎng)，弦心距，圓半徑構(gòu)成直角三角形，滿足勾股定理，求出弦心距（即圓心到直線的距離），（3）中要注意討論斜率不存在的情況，這也是解答直線過定點(diǎn)類問題的易忽略點(diǎn)．