Question

2．已知平面上動(dòng)點(diǎn)M到直線y=-2的距離比它到點(diǎn)F（0，1）的距離多1．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M形成的曲線為E，過點(diǎn)P（0，-1）的直線l交曲線E于A，B兩點(diǎn)，若直線OA和直線OB的斜率之和為2（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由動(dòng)點(diǎn)M到直線y=-2的距離比它到點(diǎn)F（0，1）的距離多1，可得動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)F的距離與它到直線y=-1的距離相等，由拋物線的定義可知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是以F為焦點(diǎn)，以y=-1為準(zhǔn)線的拋物線，即可求拋物線C的方程；
（Ⅱ）由題意可得設(shè)直線l的方程為y=kx-1，聯(lián)立直線與拋物線的方程可得：x²-4kx+4=0，根據(jù)韋達(dá)定理可得答案．

解答 解：（Ⅰ）由動(dòng)點(diǎn)M到直線y=-2的距離比它到點(diǎn)F（0，1）的距離多1，
可得動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)F的距離與它到直線y=-1的距離相等，
由拋物線的定義可知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是以F為焦點(diǎn)，以y=-1為準(zhǔn)線的拋物線
所以方程為x²=4y．…（4分）
（Ⅱ）顯然，直線l垂直于x軸不合題意，故可設(shè)所求的直線方程為y=kx-1，
代入拋物線方程化簡，得：x²-4kx+4=0，…（6分）
其中△=4k²+8＞0，x₁+x₂=-4k，x₁x₂=4…（8分）
設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=2，①
因?yàn)閥₁=kx₁-1，y₂=kx₂-1，代入①，整理可得k=2，…（11分）
所以直線l的方程為y=2x-1．…（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查拋物線的簡單性質(zhì)、直線的一般式方程、直線與拋物線的位置關(guān)系，以及方程思想，屬于中檔題．