Question

已知函數(shù)f（x）=-3x²-3x+4b²+

1

4

（b＞0），x∈[-b，1-b]，f（x）_max=25，求b的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)f（x）圖象的對稱軸方程為x=-

1

2

，x∈[-b，1-b]，分類討論求得f（x）_max的結(jié)果，綜合可得結(jié)論．

解答： 解：由于函數(shù)f（x）=-3x²-3x+4b²+

1

4

=-3(x+

1

2

)2+4b²+1（b＞0）的圖象的對稱軸方程為x=-

1

2

，
x∈[-b，1-b]，
當(dāng)-b＞-

1

2

，即0＜b＜

1

2

時，函數(shù)f（x）在[-b，1-b]上單調(diào)遞減，
函數(shù)的最大值為f（x）_max=f（-b）=b²+3b+

1

4

．
當(dāng)-b≤-

1

2

，即b＞

1

2

時，f（x）在[-b，-

1

2

上單調(diào)遞增，f（x）在[-

1

2

，1-b]上單調(diào)遞減，
函數(shù)的最大值為f（x）_max=f（-

1

2

）=4b²+1．
綜上可得，f（x）_max=

b2+3b+ 1 4 ，0＜b＜ 1 2 4b2+1，b＞ 1 2

．

點評：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．