Question

設(shè)e₁，e₂分別為具有公共焦點(diǎn)F₁與F₂的橢圓和雙曲線的離心率，P為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且滿足

PF1

•

PF2

=0，則 

e12+e12

(e1e2)2

的值為（　�。�

• A、1
• B、

  1

  2

• C、4
• D、2

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì),平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸是a₁，雙曲線的實(shí)半軸是a₂，它們的半焦距是c，并設(shè)PF₁=m，PF₂=n，m＞n，根據(jù)橢圓的和雙曲線的定義可得m+n=2a₁，m-n=2a₂，寫(xiě)出兩個(gè)曲線的離心率，由向量垂直的條件，運(yùn)用勾股定理可得等式，代入要求的式子得到結(jié)果．

解答： 解：設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸是a₁，雙曲線的實(shí)半軸是a₂，它們的半焦距是c，
并設(shè)PF₁=m，PF₂=n，m＞n，根據(jù)橢圓的和雙曲線的定義可得
m+n=2a₁，m-n=2a₂
解得m=a₁+a₂，n=a₁-a₂
又PF₁⊥PF₂，由勾股定理得，
PF₁²+PF₂²=F₁F₂²
即（a₁+a₂）²+（a₁-a₂）²=（2c）²
化簡(jiǎn)可得a₁²+a₂²=2c²
則

e12+e12

(e1e2)2

=

1

e12

+

1

e22

=

a12

c2

+

a22

c2

=2．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的共同特征，本題解題的關(guān)鍵是得到兩個(gè)曲線的參數(shù)之間的關(guān)系，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題．