Question

已知f（x）=ax³+bx²+cx在區(qū)間[0，1]上是減函數(shù)，在區(qū)間（-∞，0），（1，+∞）上是增函數(shù)，又f′(

1

2

)=-

3

2

．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）≤m在區(qū)間x∈[0，2]恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性建立條件關系即可，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求出函數(shù)f（x）在x∈[0，2]的最大值即可．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=3ax²+2bx+c，由已知f′（0）=f′（1）=0，
即

c=0 3a+2b+c=0

，
解得

c=0 b=- 3 2 a

∴f′（x）=3ax²-3ax，
∴f′(

1

2

)=-

3

2

=

3a

4

+b，
∴a=2，b=-3
∴f（x）=2x³-3x²．
（Ⅱ）∵f（x）=2x³-3x²．
∴f′（x）=6x²-6x=6x（x-1），
由f′（x）＞0得x＞1或x＜0，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0，解得0＜x＜1．此時函數(shù)單調(diào)遞減，
即當x∈[0，2]時，當x=2時，函數(shù)f（x）取得最大值f（2）=4，
又若f（x）≤m在區(qū)間x∈[0，2]恒成立，
∴m≥4．

點評：本題主要考查導數(shù)的應用，利用函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關系求出函數(shù)的解析式是解決本題的關鍵．