Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x）=f（4-x）且f（2-x）+f（x-2）=0，若f（2）=1，則f（2014）的值是（　　）

• A、-1
• B、0
• C、1
• D、無法確定

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先由條件f（2-x）+f（x-2）=0推出f（-x）=-f[2-（x+2）]=-f[（x+2）-2]=-f（x），故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
再由條件f（x）=f（4-x）推出函數(shù)為周期函數(shù)，根據(jù)函數(shù)奇偶性和周期性之間的關(guān)系，將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）滿足f（2-x）+f（x-2）=0，∴f（2-x）=-f（x-2），
∴f（-x）=-f[2-（x+2）]=-f[（x+2）-2]=-f（x），∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
又f（x）滿足f（x）=f（4-x），∴f（x）=f（x-4），∴f（x+8）=f（x+8-4）=f（x+4）=f（x+4-4）=f（x），
∴函數(shù)為周期函數(shù)，周期T=8，
∴f（2014）=f（251×8+6）=f（6），又f（6）=f（6-8）=f（-2）=-f（2）=-1，
故選：A．

點評：本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，利用函數(shù)的周期性和奇偶性進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．