Question

已知F₁、F₂為橢圓的焦點(diǎn)，P為橢圓上的任意一點(diǎn)，橢圓的離心率為．以P為圓心PF₂長(zhǎng)為半徑作圓P，當(dāng)圓P與x軸相切時(shí)，截y軸所得弦長(zhǎng)為．
（1）求圓P方程和橢圓方程；
（2）求證：無(wú)論點(diǎn)P在橢圓上如何運(yùn)動(dòng)，一定存在一個(gè)定圓與圓P相切，試求出這個(gè)定圓方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)離心率求得a和c的關(guān)系，進(jìn)而求得b和c的關(guān)系，設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)圓P與x軸相切時(shí)，PF₂⊥x軸，求得P的坐標(biāo)和圓的半徑，進(jìn)而根據(jù)弦長(zhǎng)公式求得c，則橢圓的方程可得．
（2）以F₁為圓心，作圓M，使得圓P內(nèi)切于圓M，公切點(diǎn)設(shè)為Q，則可推斷出點(diǎn)F₁、P、Q在一直線上，進(jìn)而可知F₁Q=F₁P+PQ=F₁P+PF₂，求得a，進(jìn)而可推斷出存在圓M：（x+2）²+y²=36滿足題設(shè)要求．
解答：解：（1）∵，∴a=3c，b=，
橢圓方程設(shè)為，
當(dāng)圓P與x軸相切時(shí)，PF₂⊥x軸，故求得P（c，），圓半徑r=，
由得c=2，
∴橢圓方程為，
此時(shí)圓P方程為．
（2）以F₁為圓心，作圓M，使得圓P內(nèi)切于圓M，公切點(diǎn)設(shè)為Q，
則點(diǎn)F₁、P、Q在一直線上，
從而F₁Q=F₁P+PQ=F₁P+PF₂=2a=12，
∴存在圓M：（x+2）²+y²=144滿足題設(shè)要求．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用，橢圓與圓的位置關(guān)系等．考查了分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．