Question

13．已知小矩形花壇ABCD中，AB=3m，AD=2m，現(xiàn)要將小矩形花壇建成大矩形花壇AMPN，使點(diǎn)B在AM上，點(diǎn)D在AN上，且對角線MN過點(diǎn)C．
（1）要使矩形AMPN的面積大于32m²，AN的長應(yīng)在什么范圍內(nèi)？
（2）M，N是否存在這樣的位置，使矩形AMPN的面積最��？若存在，求出這個最小面積及相應(yīng)的AM．

Answer 1

分析 （1）由題如圖，可先設(shè)出所求的量；AM=x，AN=y（x＞3，y＞2），再由矩形的面積公式建立關(guān)系式，另由圖可發(fā)現(xiàn)；△NDC∽△NAM，則可找到長與寬的關(guān)系式，從而建立關(guān)于AN=y，的二次不等式，求解可得AN的取值范圍；
（2）由題為建設(shè)后矩形面積的最小值，可由（1）得出的函數(shù)關(guān)系式$S=\frac{{3{y^2}}}{y-2}（y＞2）$，進(jìn)行代數(shù)變形利用均值不等式（注意條件，正，定，相等）可求出相應(yīng)的最小值．

解答 解：（1）設(shè)AM=x，AN=y（x＞3，y＞2），矩形AMPN的面積為S，則S=xy．
∵△NDC∽△NAM，∴$\frac{y-2}{y}=\frac{3}{x}$，∴x=$\frac{3y}{y-2}$，
∴$S=\frac{{3{y^2}}}{y-2}（y＞2）$．
由$\frac{3{y}^{2}}{y-2}$＞32，得2＜y＜$\frac{8}{3}$，或y＞8，
∴AN的長度應(yīng)在（2，$\frac{8}{3}$）或（8，+∞）內(nèi)．
（2）當(dāng)y＞2時，S=$\frac{3{y}^{2}}{y-2}$=3（y-2+$\frac{4}{y-2}$+4）≥3×（4+4）=24，
當(dāng)且僅當(dāng)y-2=$\frac{4}{y-2}$，即y=4時，等號成立，解得x=6．
∴存在M，N點(diǎn)，當(dāng)AM=6，AN=4時，S_min=24．

點(diǎn)評 考查學(xué)生會根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)關(guān)系的能力，利用基本不等式求最值的能力，屬于中檔題．