Question

下列四個(gè)命題：
①圓（x+2）²+（y+1）²=4與直線x-2y=0相交，所得弦長(zhǎng)為2；
②直線y=kx與圓（x-cosθ）²+（y-sinθ）²=1恒有公共點(diǎn)；
③若棱長(zhǎng)為3的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為108π；
④若棱長(zhǎng)為的正四面體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的體積為．
其中，正確命題的序號(hào)為    ．寫(xiě)出所有正確命的序號(hào)）

Answer 1

【答案】分析：①②是直線和圓的位置關(guān)系及弦長(zhǎng)問(wèn)題，一般轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離問(wèn)題，但本題中很容易看出①中直線x-2y=0過(guò)圓心，②中直線和圓均過(guò)原點(diǎn)；③④為與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，結(jié)合球的截面性質(zhì)，球心與截面圓心的連線垂直于截面圓處理．
解答：解：①圓心（-2，-1）在直線x-2y=0上，即直線x-2y=0過(guò)圓心，所得弦長(zhǎng)為直徑4，結(jié)論錯(cuò)誤；
②∵直線y=kx與圓（x-cosθ）²+（y-sinθ）²=1橫過(guò)原點(diǎn)，故恒有公共點(diǎn)正確；
③球直徑為正方體的對(duì)角線長(zhǎng)即，故求半徑R=，球表面積為s=4πR²=27π，結(jié)論錯(cuò)誤；
由上圖可知，AH=，，∴R=，
∵，∴，∴，結(jié)論正確．
故答案為：②④
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓的位置關(guān)系及與球有關(guān)的組合體問(wèn)題．直線和圓的位置關(guān)系一般轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離問(wèn)題，與球有關(guān)的組合體問(wèn)題要畫(huà)好圖形，結(jié)合球的截面性質(zhì)．