Question

5．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對稱軸，且經(jīng)過兩個點(diǎn)P₁（$\sqrt{6}$，1），P₂（-$\sqrt{3}$，-$\sqrt{2}$）兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)P（1，1）作橢圓的弦AB，使點(diǎn)P為弦AB的中點(diǎn)，求弦AB的長．

Answer 1

分析 （1）由待定系數(shù)法設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得方程組，解方程組得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線方程，再與橢圓方程聯(lián)立得：（1+3k²）x²+6k（1-k）x+3（1-k）²-9=0，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求直線AB的斜率k；運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式即可得到所求|AB|的長．

解答 解：（1）設(shè)橢圓方程為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0）．
∵橢圓經(jīng)過P₁，P₂點(diǎn)，
∴P₁，P₂點(diǎn)適合橢圓方程，有6m+n=1，3m+2n=1．
解得m=$\frac{1}{9}$，n=$\frac{1}{3}$，
∴所求橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）若直線的斜率不存在，
則由橢圓的對稱性及弦AB的中點(diǎn)為P（1，1），知不成立；
若斜率存在，設(shè)斜率為k，
則直線的方程為：y-1=k（x-1），∴y=kx+1-k，
代入橢圓方程，整理得：（1+3k²）x²+6k（1-k）x+3（1-k）²-9=0，①
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），即有x₁+x₂=$\frac{6k（k-1）}{1+3{k}^{2}}$=2，
解得：k=-$\frac{1}{3}$，
當(dāng)k=-$\frac{1}{3}$時，方程①為：4x²-8x+11=0，
∴x₁+x₂=2，x₁x₂=-$\frac{11}{4}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{9}}$•$\sqrt{4+4×\frac{11}{4}}$=$\frac{5\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式和弦長公式，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．