Question

設(shè)數(shù)列{u_n}是公差不為零的等差數(shù)列，|u₁₁|=|u₅₁|，u₂₀=22，設(shè){u_n}的前n項(xiàng)和為S_n，{|u_n|}的前n項(xiàng)和為T_n．
（1）求u₃₁值；
（2）求T_n的表達(dá)式；
（3）求

lim

n→∞

Sn

Tn

的值．

Answer 1

分析：（1）由|u₁₁|=|u₅₁|且d≠0可得u₁₁=-u₅₁，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得，u₁₁+u₅₁=2u₃₁=0，從而可求
（2）由（1）可得u₁=-30d，結(jié)合u₂₀=22可得d=-2，u₁=60，u_n=60+（n-1）×（-2）=-2n+62，Sn=60n+

n(n-1)

2

×(-2)=-n²+61n
分n≤31，T_n=|u₁|+…+|u_n|=u₁+u₂+…+u_n=S_n；n≥32，T_n=|u₁|+|u₂|+…+|u₃₁|+…+|u_n|
=u₁+u₂+…+u₃₁-（u₃₂+…+u_n）=S₃₁-（S_n-S₃₁）=2S₃₁-S_n
（3）

lim

n→∞

Tn

Sn

=

lim

n→∞

61n-n2

n2-61n+1860

=

lim

n→∞

61 n -1

1- 61 n + 1860 n2

可求

解答：解：（1）∵|u₁₁|=|u₅₁|且d≠0
∴u₁₁=-u₅₁
由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，u₁₁+u₅₁=2u₃₁=0
∴u₃₁=0
（2）由（1）可得u₁=-30d
∴u₂₀=u₁+19d=-11d=22
∴d=-2，u₁=60，u_n=60+（n-1）×（-2）=-2n+62
∴Sn=60n+

n(n-1)

2

×(-2)=-n²+61n
當(dāng)n≤31，T_n=|u₁|+…+|u_n|=u₁+u₂+…+u_n=S_n=-n²+61n
n≥32，T_n=|u₁|+|u₂|+…+|u₃₁|+…+|u_n|
=u₁+u₂+…+u₃₁-（u₃₂+…+u_n）
=S₃₁-（S_n-S₃₁）=2S₃₁-S_n=n²-61n+1860
（3）

lim

n→∞

Tn

Sn

=

lim

n→∞

61n-n2

n2-61n+1860

=

lim

n→∞

61 n -1

1- 61 n + 1860 n2

=-1

點(diǎn)評：本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)公式及求和公式的應(yīng)用，數(shù)列極限的求解，體現(xiàn)了分類討論的思想在解題中的應(yīng)用．