Question

曲線y=

1

3

x3+

2

3

過(guò)點(diǎn)P（1，1）的切線方程方程為

 

．

Answer 1

分析：設(shè)過(guò)點(diǎn)P的切線與曲線y=f（x）相切于點(diǎn)R，然后求出曲線y=f（x）在點(diǎn)R處切線方程，將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求出切線方程．

解答：解：設(shè)過(guò)點(diǎn)P（1，1）的切線與曲線y=f（x）相切于點(diǎn)R（t，

1

3

t³+

2

3

），
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)R處切線斜率為f′（t）=t²，
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)R處切線方程為y-（

1

3

t³+

2

3

）=t²（x-t），
將點(diǎn)P（1，1）代入切線方程，1-（

1

3

t³+

2

3

）=t²（1-t），
解得：t=1或t=-

1

2

，
故切點(diǎn)R分別為（1，1）和（-

1

2

，

5

8

），
由直線的點(diǎn)斜式方程可得，過(guò)點(diǎn)Q的切線方程為y-1=1（x-1）或y-

5

8

=

1

4

[x-（-

1

2

）]，
∴過(guò)點(diǎn)Q的切線方程有兩條：x-y=0和x-4y+3=0．
故答案為：x-y=0和x-4y+3=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，同時(shí)考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化的思想，解曲線的切線問(wèn)題要特別注意是“在”還是“過(guò)”點(diǎn)．屬于中檔題．