Question

5．已知向量$\overrightarrow a=（λ，{λ^2}-{sin^2}α）$，$\overrightarrow b=（μ-1，μ+cosα）$，其中λ，μ，α為實(shí)數(shù)，且$\overrightarrow a=-2\overrightarrow b$，
（1）求μ的取值范圍；
（2）求$\frac{λ^2}{μ}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與向量相等，求出μ的表達(dá)式，再利用三角函數(shù)的恒等變換求出μ的取值范圍；
（2）根據(jù)λ與μ的關(guān)系求出$\frac{{λ}^{2}}{μ}$的表達(dá)式，利用μ的取值范圍和函數(shù)的單調(diào)性即可求出$\frac{{λ}^{2}}{μ}$的取值范圍．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow a=（λ，{λ^2}-{sin^2}α）$，$\overrightarrow b=（μ-1，μ+cosα）$，
∴-2$\overrightarrow$=（-2μ+2，-2μ-2cosα）；
又$\overrightarrow a=-2\overrightarrow b$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{λ=-2μ+2}\\{{λ}^{2}{-sin}^{2}α=-2μ-2cosα}\end{array}\right.$，
∴（-2μ+2）²-sin²α=-2μ-2cosα，
化簡(jiǎn)得4μ²-6μ+4=sin²α-2cosα；
設(shè)t=sin²α-2cosα，
則t=1-cos²α-2cosα=-（cosα+1）²+2；
由-1≤cosα≤1，求得-2≤t≤2；
∴-2≤4μ²-6μ+4≤2，
即-1≤2μ²-3μ+2≤1，
解得$\frac{1}{2}≤μ≤1$；
（2）∵λ=-2μ+2，
∴$\frac{{λ}^{2}}{μ}$=$\frac{{（-2μ+2）}^{2}}{μ}$=$\frac{{4μ}^{2}-8μ+4}{μ}$=4μ+$\frac{4}{μ}$-8，
又$\frac{1}{2}$≤μ≤1時(shí)，函數(shù)t=4μ+$\frac{4}{μ}$是單調(diào)減函數(shù)；
當(dāng)u=$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)t=2+8=10為最大值，
當(dāng)μ=1時(shí)，函數(shù)t=4+4=8為最小值；
所以8-8≤4μ+$\frac{4}{μ}$-8≤10-8，
即0≤$\frac{{λ}^{2}}{μ}$≤2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與向量相等，以及三角函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問題，是綜合性題目．