Question

20．如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=4cm，AA₁=2cm，設(shè)平面AB₁D₁與平面ABCD所成二面角為θ，tanθ=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面AB₁D₁與平面ABCD所成二面角的正切值．

解答 解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
A（4，0，0），B₁（4，4，0），${D}_{1}\stackrel{\;}{\;}$（0，0，2），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，4，0），$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-4，0，2），
設(shè)平面AB₁D₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=4y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{D}_{1}}=-4x+2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，2），
平面ABCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
∵平面AB₁D₁與平面ABCD所成二面角為θ，
∴cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，sinθ=$\sqrt{1-（\frac{2}{\sqrt{5}}）^{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=$\frac{\frac{1}{\sqrt{5}}}{\frac{2}{\sqrt{5}}}$=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查二面角的正切值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．