Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\frac{xlnx}{x+1}$和g（x）=m（x-1）（m∈R）．
（1）m=1時，求方程f（x）=g（x）的實根；
（2）若對于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤g（x）恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）m=1時，f（x）=g（x）化為xlnx-x²+1=0，設h（x）=xlnx-x²+1，確定其單調性，即可求方程f（x）=g（x）的實根；
（2）任意的x∈[1，+∞），f′（x）=$\frac{lnx+x+1}{（x+1）^{2}}$＞0，函數(shù)單調遞增，f′（1）=$\frac{1}{2}$，根據(jù)對于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤g（x）恒成立，即可求m的取值范圍．

解答 解：（1）m=1時，f（x）=g（x）化為xlnx-x²+1=0，
設h（x）=xlnx-x²+1，則h′（x）=lnx+1-2x，
∴h″（x）=$\frac{1}{x}$-2，
∴h′（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上單調遞增，在（$\frac{1}{2}$，+∞）上單調遞減，
∴h′（x）_max=h′（$\frac{1}{2}$）=-ln2，
∴h′（x）＜0，
∴h（x）在（0，+∞）上單調遞減，
∵h（1）=0，
∴方程f（x）=g（x）的實根為x=1；
（2）∵f（x）=$\frac{xlnx}{x+1}$，
∴任意的x∈[1，+∞），f′（x）=$\frac{lnx+x+1}{（x+1）^{2}}$＞0，函數(shù)單調遞增，
∵f′（1）=$\frac{1}{2}$，
∴對于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤g（x）恒成立，m≥$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查導數(shù)知識的綜合運用，考查函數(shù)的單調性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．