已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x∈R，且x≠0}，對定義域內(nèi)的任意x1、x2，都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且當(dāng)x>1時，f(x)>0.
(1)求證：f(x)是偶函數(shù)；
(2)求證：f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．
（1）見解析    （2）見解析
證明： (1)因?qū)Χx域內(nèi)的任意x1、x2都有
f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，
令x1＝x，x2＝－1，
則有f(－x)＝f(x)＋f(－1)．
又令x1＝x2＝－1，得2f(－1)＝f(1)．
再令x1＝x2＝1，得f(1)＝0，
從而f(－1)＝0，
于是有f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函數(shù)．
(2)設(shè)0<x1<x2，
則f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f(x1·)＝f(x1)－[f(x1)＋f()]＝－f()，
由于0<x1<x2，所以>1，從而f()>0，
故f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，
所以f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知命題p：函數(shù)在上單調(diào)遞減．
⑴求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
⑵命題q：方程在內(nèi)有一個零點(diǎn)．若p或q為真，p且q為假，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

點(diǎn)是函數(shù)圖像上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)，則、兩點(diǎn)之間距離的最小值是______________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知函數(shù)是上的增函數(shù)，是其圖像上的兩點(diǎn)，那么的解集為(     )
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知函數(shù)f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)單調(diào)遞減，則a的取值范圍是(　　)
A．(－∞，4]B．[4，＋∞)
C．[－4,4]D．(－4,4]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是(　　)
A．y＝B．y＝|x|
C．y＝x＋D．y＝2－x－2x

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

若函數(shù)f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)滿足f(1)＝，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(　　)
A．(－∞，2]B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

使函數(shù)y＝與y＝log3(x－2)在(3，＋∞)上具有相同的單調(diào)性，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

(2014·宜昌模擬)若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=-f(x),且在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減,則(　　)
A．f(2)<f<f(1)B．f(1)<f(2)<f
C．f<f(2)<f(1)D．f(1)<f<f(2)

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