一橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)為A1B1A2B2，以橢圓的中心為圓心的圓過(guò)橢圓的焦點(diǎn)且與菱形A1B1A2B2相切，則橢圓的離心率為
5
-1
2
5
-1
2
．
分析：可得橢圓的中心到直線A2B2的距離為c，結(jié)合b2=a2-c2可得關(guān)于ac的方程，由離心率的定義解方程可得．
解答：解：由題意可得橢圓的中心O（0，0）到直線A2B2的距離為c，
可得直線A2B2的方程為
x
a
+
y
b
=1，即bx+ay-ab=0，
由點(diǎn)到直線的距離公式可得
|ab|
b2+a2
=c，
變形可得a2b2=c2（a2+b2），由b2=a2-c2可得
a2（a2-c2）=c2（2a2-c2），即a4-3a2c2+c4=0，
兩邊同除以a4可得1-3e2+e4=0，
解得e2=
3±
5
2
，結(jié)合e∈（0，1）可得e=
5
-1
2

故答案為：
5
-1
2
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓離心率的求解，涉及點(diǎn)到直線的距離公式和一元二次方程的求解，屬中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的兩焦點(diǎn)F1、F2和短軸的兩端點(diǎn)B1、B2正好是一正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，且焦點(diǎn)到橢圓上一點(diǎn)的最近距離為
2
-1．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)P是橢圓上任一點(diǎn)，MN是圓C：x2+（y-2）2=1的任一條直徑，求
PM
•
PN
的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知△ABC為正三角形，點(diǎn)A，B為橢圓的焦點(diǎn)，點(diǎn)C為橢圓一頂點(diǎn)，則該三角形的面積與橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)連成的菱形的面積之比為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•茂名一模）已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1   (a＞b＞0)的離心率為
3
3
，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的四邊形的面積為2
6
．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）設(shè)橢圓C1的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2，直線l1過(guò)點(diǎn)F1且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線l2垂直l1于點(diǎn)P，線段PF2的垂直平分線交l2于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡C2的方程；
（3）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，取C2上不同于O的點(diǎn)S，以O(shè)S為直徑作圓與C2相交另外一點(diǎn)R，求該圓面積的最小值時(shí)點(diǎn)S的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•淄博二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
1
2
，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4
3
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）圓x2+y2=1的一條切線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，問(wèn)是否存在上述直線l使
OA
•
OB
=0成立？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012-2013學(xué)年山東省濟(jì)寧市汶上一中高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)恰好是一邊長(zhǎng)為2，一內(nèi)角為60°的菱形的四個(gè)頂點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）直線l與橢圓M交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求△AOB（O為原點(diǎn)）面積的最大值．

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